人教版新课标A必修52.2 等差数列第2课时学案设计

这是一份人教版新课标A必修52.2 等差数列第2课时学案设计，共4页。学案主要包含了做一做1－1，做一做1－2，做一做2等内容，欢迎下载使用。
1．复习巩固等差数列的概念及其通项公式．
2．掌握等差中项的应用．
3．掌握等差数列的性质，并能解决有关问题．
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．
定义还可以叙述为：
在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则数列{an}是等差数列．常数d称为等差数列的公差．
(2)通项公式：an＝____________，a1为首项，d为公差．
【做一做1－1】 等差数列{an}的公差d＝2，a1＝2，则an等于( )
A．2 B．2n－2 C．2n D．2n＋2
【做一做1－2】 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的______．
由a，A，b成等差数列，得A－a＝b－A，所以A＝eq \f(a＋b,2).反过来，如果A＝eq \f(a＋b,2)，那么2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列．
【做一做2】 x＋1与y－1的等差中项为10，则x＋y等于( )
A．0 B．10 C．20 D．不确定
答案：1．(1)同一个常数 公差 (2)a1＋(n－1)d
【做一做1－1】 C
【做一做1－2】 13
2．等差中项
【做一做2】 C
1．等差数列的性质
剖析：若数列{an}是公差为d的等差数列，则
(1)当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)d＝eq \f(an－a1,n－1)＝eq \f(am－ak,m－k)(m，n，k∈N*)．
(3)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(5)若eq \f(m＋n,2)＝k，则am＋an＝2ak(m，n，k∈N*)．
(6)若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…(n，i∈N*)．
(7)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m， ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
(9)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn＋b}(k，m，b为常数)是等差数列．
由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面证明其他两个．
证明性质(5)：∵an＝a1＋(n－1)d，
∴am＝a1＋(m－1)d，ak＝a1＋(k－1)d，
∴am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d
＝2a1＋(2k－2)d＝2a1＋2(k－1)d
＝2[a1＋(k－1)d]＝2ak.
证明性质(7)：∵an＝a1＋(n－1)d，且λ，b为常数，
∴λan＋b＝λ[a1＋(n－1)d]＋b＝(λa1＋b)＋(n－1)λd，
λan－1＋b＝λ[a1＋(n－2)d]＋b
＝(λa1＋b)＋(n－2)λd，
∴(λan＋b)－(λan－1＋b)＝λd(常数)，
∴数列{λan＋b}也是等差数列，公差为λd.
2．对问题“等差数列{an}中，若m＝p＋q(m，p，q∈N*)，则am＝ap＋aq不成立”的理解
剖析：要解决这个问题，我们还是回到性质“等差数列{an}中，当m，n，p，q∈N*，m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq”的推导中．
事实上，由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d＝kn＋b(k，b为常数)，所以我们有am＝km＋b，ap＝kp＋b，aq＝kq＋b，则ap＋aq＝k(p＋q)＋2b，令km＋b＝k(p＋q)＋2b，注意到m＝p＋q，所以b＝0.这告诉我们，当且仅当b＝0，即a1＝d时，上述结论才成立，而对于一般等差数列而言，a1≠d.
因此等差数列{an}中，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq不一定成立．这个事实告诉我们，在学习中遇到一些似是而非的问题时，要加以推理论证，而不要随意地类比迁移．
题型一 等差数列性质的应用
【例题1】 设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
分析：方法一：依性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”求解即可．
方法二：将a3＋a4＋a5＋a6＋a7用a1，d表示，再将a2＋a8用a1，d表示，从中寻找关系来解决．
反思：(1)比较方法一和方法二，显然方法一要优于方法二，因此要注意灵活运用性质解题．
(2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用，因此应用得法可为解题带来极大的方便，如本题方法一．
题型二 等差中项的应用
【例题2】 已知三个数成等差数列并且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
分析：充分利用等差中项的定义求解未知量．
反思：当三个数或四个数成等差数列时，可设出这几个数，由已知条件列方程组求解，如本题解法一；也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d.四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用已知条件列方程(组)先求出其中的a与d，再进一步解题，如本题解法二．
题型三 等差数列的综合问题
【例题3】 一个等差数列的首项为eq \f(1,25)，公差d＞0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围．
分析：从第10项起每一项都大于1是指eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a9≤1，,a10>1，))转化为解不等式组．
反思：等差数列是关于n的一次函数(d＝0时为常数函数)，对于有关单调性、取值范围的问题，可先结合已知条件利用通项公式，得到一个以a1和d为未知数的方程或不等式，再利用函数、不等式的有关方法来解决．
题型四 易错辨析
【例题4】 设数列{an}是等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，试求ap＋q.
错解：∵数列{an}是等差数列，
∴ap＋q＝ap＋aq＝p＋q.
错因分析：性质am＋an＝ap＋aq中必须是两项相加等于两项相加，如a7＋a8＝a6＋a9，并不是下标和相等即相等，如a15＝a7＋8≠a7＋a8.
反思：利用等差数列的性质解决问题时，所用的性质必须是经过证明成立的，才能应用，否则不能应用．
答案：【例题1】 解：方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
方法二：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，
∴a1＋4d＝90.
∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.
【例题2】 解法一：设这三个数为a，b，c，
则由题意，得
解得a＝4，b＝6，c＝8.
故这三个数是4,6,8.
解法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知，得
由①，得a＝6.代入②，得d＝±2.
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去．
∴这三个数为4,6,8.
【例题3】 解：设等差数列为{an}，
由d＞0，知a1＜a2＜…＜a9＜a10＜a11…，
依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1