2021学年2.3 等差数列的前n项和学案

这是一份2021学年2.3 等差数列的前n项和学案，共6页。学案主要包含了复习引入，讲解，练习，小结 本节课学习了以下内容，课后作业等内容，欢迎下载使用。
等差数列的前n项和学习目的：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学习重点：熟练掌握等差数列的求和公式学习难点：灵活应用求和公式解决问题内容分析：
      本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的学习过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列的前项和公式2： 3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）    利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值（2）    利用：由二次函数配方法求得最值时n的值   二、讲解   例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N*∴满足不等式n＜的正整数一共有30个.即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1, =59,n=30的等差数列.∵=,∴==900.答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.由=,得==1650.答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列是等差数列，是其前n项和，求证：⑴，-，-成等差数列；⑵设 （）成等差数列证明：设首项是，公差为d则∵ ∵∴是以36d为公差的等差数列同理可得是以d为公差的等差数列.三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得=24, －=27则设等差数列首项为,公差为d,则 解之得：     ∴=3+2（n－1）=2n+1.2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列公差分别是, , 求与的值  解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝;        ++……+＝7＝7×＝21, ++ ……+＝3×(1＋5)＝18,       ∴  ＝.  3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值  解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24, ∴ ＝－24n＋＝[(n－)－],      ∴ 当|n－|最小时，最小，即当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.  解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1), 由≤0得n≤9且＝0, ∴当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.  四、小结  本节课学习了以下内容：是等差数列，是其前n项和，则 （）仍成等差数列五、课后作业：1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.  解：由(n－2)·180＝100n＋×10，求得n－17n＋72＝0,   n＝8或n＝9, 当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8. 2．已知非常数等差数列{}的前n项和满足(n∈N, m∈R), 求数列{}的前n项和.解：由题设知＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2, 即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,  ∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1, ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,  则 当n=1时，＝当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝∴＝ d===               =数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列，    ∴数列{}的前n项和为n·()＋n(n－1)·()＝ 3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.  解：设这个数列的首项为, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得, 解得d＝5.解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5. 4．两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比  解：.5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和 解：在等差数列中，, －, －, ……, －, －, 成等差数列，  ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，10＋·D＝＝10, 解得D＝－22   ∴ －＝＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围；(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由  解：(1) , ∵ ＝＋2d＝12, 代入得   , ∴ －<d<－3,(2) ＝13<0, ∴ <0, 由＝6(＋)>0, ∴ ＋>0,∴>0,    最大.