高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和导学案

等差数列的前n项和

一、学习目标：

  1、掌握等差数列前n项和公式；

  2、能运用公式解决简单问题。

二、例题分析

第一阶段

[例1]在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2？这些数的和是多少？

  思路分析：被3除余2的正整数可以写成3n+2(n∈N)的形式。

  解：由3n+2<100得 ，即0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数中共有33个数

  被3除余2。把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…98，它们组成一个等差数列{an}，其中a1=2，

  a33=98，n=33，因此它们的和为  

  说明：本题运用等差数列通项公式和前n项和公式解题。

[例2]求等差数列13，15，17，…，81的各项的和。

  思路分析：创造条件，使用等差数列前n项和公式。

  解：在这个等差数列中a1=13，d=2，an=81，

      由81=13+(n－1)×2，得n=35。

  说明：此题知道等差数列的首项、末项，要求和必须先计算出项数n。

[例3] 

  思路分析：

  知Sn是n的缺常数项的二次式，所以数列{an}为等差数列，可求出通项an，然后

  再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn。

  解：

      当n≥2时，   

       an=Sn－Sn-1

         =－3n+104

  ∵n=1也适合上式，

  由an=－3n+104≥0，得n≤34.7

  即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0

 (1)当n≤34时，

     Tn=│a1│+│a2│+…+│an│=a1+a2+…+an

 (2)当n≥35时，

   Tn=│a1│+│a2│+…+│a34│+│a35│+…+│an│

     =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)

     =2(a1+a2+…+a34)－(a1+a2+…+an)

     =2S34-Sn

第二阶段

[例4]己知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求项数。

  思路分析：利用等差数列性质进行求解。

  解：∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，

[例5]等差数列{an}中，a1<0，S9=S12，该数列前多少项的和最小？

  思路分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一

  条件。

  解法一：设等差数列{an}的公差为d,，则由题意得

  即3a1=-30d，

  ∵a1<0， ∴d>0，  

  ∵d>0，∴Sn有最小值，  

  解得10≤n≤11

  ∴取10或11时Sn取最小值。

  解法三：∵S9=S12，∴a10+a11+a12=0，∴3a11=0，

          ∴a11=0.∵a1<0，∴前10项或前11项和最小。

[例6]己知两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别为Sn，Sn´，  

  思路分析：充分运用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题。

  解：因为{an}，{bn}均为等差数列，所以2a9=a1+a17，2b9=b1+b17，

      ∴S17=17a9，S´17=17b9，

  说明：解题过程中体现了化归思想。

第三阶段

[例7]从1到200的所有整数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数的所有整数和是多少？

  思路分析：

  从1到200的整数中，所有2的倍数是首项为a1=2、公差d=2的等差数列，是3的部数且不是2的倍数依次

  组成以3为首项，6为公差的等差数列，求出这两个数列的和再从总数和中减去即可。

  解：

  ∴满足条件的所有的数的和为20100-10100-3267=6733.

  说明：解数列问题也要善于将问题进行转化，进行逆向思考。

[例8]等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )

  A、130   B、170    C、210   D、260

  思路分析：

  设前m项和为V1，第m+1到2m项之和为V2，第2m+1项到3m项之和为V3，则V1，V2，V3也成等差数列。

  解：于是V1=30，V2=100－30=70，公差d=70－30=40，

      ∴V3=V2+d=70+40=110。

      ∴前3m项之和S3m=V1+V2+V3=210。

  答案：C

  说明：如果等差数列共有3m项，那么它的前m项之和V1，中间m项之和V2与后m项之和V3仍成等差数列，

  同学们可以尝试给予证明。

[例9]有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售，甲商场用如下的

     方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价

     均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买

     一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？

  思路分析：

  设单位需购买影碟机n台，在甲商店购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数

  列为{an}，则an=780+(n-1)×（-20）=800-20n

  由an≥440解不等式 800－2n≥440，得n≤18。

  当购买台数小于18时，每台售价为800－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元。

  到乙商店购买每台约售价为800×75%=600元，价差（800－20n)n－600n=20n(10－n)

  当n<10时，600n<(800－20n)·n；

  当n=10时，600n=(800－20n)·n；

  当10<n≤18时，（800－20n)<600n；

  当n>18时，440n<600n。

  答：当购买少于10台时到乙商店花费较少；当购买10台时到两店购买花费相同；当购买多于10台时

  到甲商店购买花费较少。

  说明：本题考查等差数列的知识，以及应用数学知识解决实际问题的能力。

三、练习题：

 1、在等差数列{an}中,a2+a5=19，S5=40，则a10为(  )

   A、27     B、28      C、29       D、30

 2、数列{an}是等差数列的一个充要条件是（ ）

   A、Sn=an2+bn+c         B、Sn=an2+bn

   C、Sn=an2+bn+c(a≠0)   D、Sn=an2+bn(a≠0）

 3、己知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则它的前20项的和S20=________

 4、等差数列{an}中，己知a7=3，那么它的前13项的和S13等于 （   ）

    A、39    B、20     C、18     D、不确定

 5、在等差数列{an}中，an=11，d=2，Sn=35，则a1等于  (  )

   A、5或7     B、3或5     C、7或－1      D、3或－1

 6、己知等差数列{an}的前17项之和为S17>0，则下列一定成立的是(  )

   A、a17>0     B、a16>0       C、a9>0        D、a8>0

 7、等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（  ）

   A、9     B、10        C、11        D、12

 8、等差数列{an}中，a1=－8，它的前16项的平均值是7。若从中抽取一项，余下的15项的平均值为7.2，

   则抽取的是（  ）

   A、第7项    B、第8项    C、第15项    D、第16项

 9、己知等差数列{an}中，a1+a15=3，则S15等于（  ）

   A、45     B、30     C、22.5        D、21

 10、己知数列{an}为等差数列，a1=35，d= -2，Sn=0，则n等于 （ ）

   A、33      B、34     C、35     D、36

 11、方程lgx+lgx3+lgx5+…lgx2n-1=2n2的解为x=___________。

 12、

 13、解答题：

  (2)己知数列{an}前n项和Sn=12n－n2，求数列{│an│}前n项和Tn。

 14、有10台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼。若同时投入工作至收割完毕需用24h，但

    现在它们是每隔相同的时间顺序投入一台工作，每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕，如

    果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，求用这种收割方法收割完毕这片土地的庄稼需用多长

    时间？

四、参考答案：

  1、C

  2、B

  3、180

  4、A

  5、D

  6、C

  7、B

  8、A

  9、C

  10、D

  11、100    

  12、

13、(1)   

  (2)∵Sn=12n－n2，a1=S1=12·1－12=11，

      当≥2时，an=Sn－Sn-1=(12n－n2)－[12(n－1)－(n－1)2]=13－2n

      在an中，当n=1时，a1=13-2·1=11，∴a1适合an，∴an=13-2n

      又an+1－an=13－2(n+1)－(13－2n)=－2，所以{an}是等差数列。

      令an=13－2n≥0，则n≤6.5

     ∴当n≤6时，an>0，当n≥7时，an<0

     于是当n≤6时│an│=an，∴Tn=Sn=12n－n2

      当n≥7时，│an│=－an

      ∴Tn=a1+a2+…+a6－a7－a8…－an

          =2(a1+a2+…a6)－(a1+a2+a3+…+an)

          =2(a1+a2+…+a6)－Sn=n2－12n+72

  14、设从第一台投入工作起，这10台收割机工作的时间依次为a1，a2…，a10小时，由题意，{an}组成一

     个等差数列，且每台收割机每小时工作效率为 ，则

    用这种方法收割完成这片土地上的庄稼共需40h.