人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案设计

这是一份人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案设计，共4页。学案主要包含了学习导航，自学评价，精典范例，追踪训练一，选修延伸，追踪训练二等内容，欢迎下载使用。

知识网络
学习要求
1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【自学评价】
1. 等差数列的前项和：
公式1：
公式2：；
2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为 等差数列 .
3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:
【精典范例】
【例1】 在等差数列｛an｝中，
（１）已知，，求；
（２）已知，，求．
【解】
（１）根据等差数列前ｎ项和公式，得
（２）根据等差数列前ｎ项和公式，得
在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.
【解】由已知，得
由②，得
代入①后化简，得
听课随笔
点评: 在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．
【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
【解】
即
解得
思维点拔
数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)
【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列.
(1)Sn＝2n2－n
(2)Sn＝2n2－n＋1
【解】 (1)a1＝S1＝1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n)－［2(n－1)2－(n－1)］
＝2(2n－1)－1＝4n－3
∵n=1 时也成立，
∴an＝4n－3
an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列
(2)a1＝S1＝2
a2＝S2－S1＝5
a3＝S3－S2＝9
∵a2－a1≠a3－a2
∴｛an｝不是等差数列.
点评： 已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1，
因此an＝.
【追踪训练一】：
1.在等差数列｛an｝中，若S12=8S4,则等于( A )
A. B. C.2 D.
2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为( D )
A.0 B.100 C.1000 D.10000
3.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( A )
A.它的首项是－2，公差是3
B.它的首项是2，公差是－3
C.它的首项是－3，公差是2
D.它的首项是3，公差是－2
4. 在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2
－n+2,则该数列的通项公式为( B )
A.an=8n+5(n∈N*)
B.an=
C.an=8n+5(n≥2)
D.an=8n－5(n≥1).
【选修延伸】
【例5】设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。
【证明】设等差数列的公差为，前项的和为，则。
听课随笔
（常数）
（）。是等差数列。
【例6】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求Sp＋q(其中p≠q).
【解】由已知Sp＝q，Sq＝p得
pa1＋ ①
qa1＋ ② ①－②整理得＝－1
∴＝(p＋q)＝－(p＋q)
点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或成等差数列去求解.
【追踪训练二】
1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是( C )
A.an=2n－1B.an=2n+1
C.an=4n－1D.an=4n+1
2.数列1，，…的前100项的和为( A )
A.13B.13 C.14D.14
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____.
4. 一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和.
听课随笔
【解】
【答案】前项的和为225