人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和学案

第7课时等差数列的前n项和（2）

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学习要求

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题

【自学评价】

1. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为k2d.

2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.

3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由

≥0，且≤0，求得n的值

当<0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且≥0，求得n的值

(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值

【精典范例】

【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。

分析 条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。

【解】 ，，

。

【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.

【解法一】 ∵2a9=a1+a17,

2b9=b1+b17,∴S17==17a9,

S17′==17b9,∴.

【解法二】 ∵｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴可设Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′

n(A、B、A′、B′∈R),∵,

进而可设Sn=(2n2+3n)t,

Sn′=(3n2－n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn－Sn－1=(2n2+3n)t－［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t,

∴a9＝37t.

同理可得bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t=(6n－4)t,

∴b9=50t,∴.

【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.

(1)求数列的公差.

(2)求前n项和Sn的最大值.

(3)当Sn＞0时，求n的最大值.

【解】 (1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,

解得:－＜d＜－,又d∈Z,∴d=－4

(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+ (－4)=78

(3)Sn=23n+ (－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0∴0＜n＜,又n∈N*,

所求n的最大值为12.

点评： 可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.

【例4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？

思路1：

求出的函数解析式（n的二次函数, ），再求函数取得最小值时的n值.

思路2：

公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：

思路3：

由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.

思维点拔：

说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：

①当时，，

则最小；

②当时，，

则最大；

③当时，，

则最小；

④当时，

，

则最大

【追踪训练一】

1. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（  B ）

A.25      B.35     C.36     D.45

2.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（  C ）

A.130   B.170   C.210    D.260

3. 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ B ）

A．    B．   C．   D．

4.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝.

5.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于___9__.

6.在等差数列{an}中，an=n－,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？

【解法一】 由可解得6≤n≤7，可知前6项都是正数，第7项为0，因此S6=S7为Sn的最小值.

【解法二】 由an=知Sn=a1+a2+…+an==

∴当n=6或n=7时,Sn取得最小值.

【选修延伸】

【例5】 已知数列的前项和，求数列的前项和。

分析 ：由知是关于的无常数项的二次函数（），可知为等差数列，可求出，然后再判断哪些项为正，那些项为负，求出。

【解】当时，；

当，

。

时适合上式，

的通项公式为。

由，得，

即当时，；

当时，。

（1）当时，

（2）当时，

.

。

【追踪训练二】

1. 在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（  C ）

A.3       B.4      C.6      D.12

2.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（  B ）

A.9     B.10    C.11   D.12

3.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn= (n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（  A ）

A. n(n+5)   B. n(n+4)

C. n(2n+7)   D.n(n+2)

4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于___5___.

【解析】由已知，又S偶+S奇=354

∴S偶=(S偶+S奇)=192   S奇=162    d==5【答案】5

5.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.

【解】 ∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,

又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.

∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.

当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.

∴