高中数学人教版新课标A必修52.3 等差数列的前n项和教学设计

等差数列的前n项和

第一课时

一、教材分析

1.教材地位与作用

本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1．从特殊到一般的研究方法；

2．等差数列的基本元表示 ；

3．逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

2.教学目标

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

3.教学重点、难点

•等差数列前n项和公式是重点。

•获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

二、教法分析

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“逆序相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成 

三、学法分析

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程

1．问题呈现

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计说明

•源于历史，富有人文气息.

•图中算数，激发学习兴趣.

•承上启下，探讨高斯算法.

2．2.探究发现 

学生叙述高斯首尾配对的方法

学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段 。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。

进而提出有无简单的方法

借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形

设计说明 

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。从而渗透了数形结合的数学思想。

问题2：求1到n的正整数之和。

从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“逆序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。

问题3：如何求等差数列{an}前n项和sn?
由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：图形直观

等差数列的性质(如果m+n=p+q那么am+an=ap+aq)

设计说明 

（方法1） 许多的教学设计在介绍“等差数列前n项和”教学时，先复习或介绍等差数列的性质，然后在此基础上采用逆序相加推导公式。

（方法2）《数学》第一册（上）（人民教育出版社）介绍的推导方法是先把等差数列用项（首项、尾项）、公差两个基本元表示，然后采用逆序相加推导公式。

方法1是以学生掌握了等差数列的性质（教材内容始终未出现，增加了学生的负担）为基础的，起点比较高，因而方法      显得抽象一些，不容易被学生理解和信服。

方法2的关键是等差数列的基本元表示——只要给定首项（尾项）和公差就可以确定该等差数列，反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列的理解。而且方法仅以等差数列的定义为基础，乃是学生熟悉的背景知识，因而显得比较直观，令人信服。

3.公式应用 

（1）选用公式

例1某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：

这位长跑运动员7天共跑了多少米？

本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。

（2）变用公式

例2等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？

本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。

（3）知三求二

例3.在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，sn=629，求a1和an。

本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，联列方程组，就可求其余二个。 

课堂小结

•回顾从特殊到一般的研究方法；

•体会等差数列的基本元表示方法，逆序相加的算法，及数形结合的数学思想；

•掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。 

作业布置 

课本，练习1、2、3；习题3.3第2题（3、４）