人教版新课标A必修52.2 等差数列第2课时同步测试题

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1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
解析 由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C.
答案 C
2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…下列说法正确的是( )．
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
解析 ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
∴数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列．
答案 C
3．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq \f(1,2)a8的值为( )．
A．4 B．6 C．8 D．10
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－eq \f(1,2)a8＝eq \f(1,2)(2a7－a8)＝eq \f(1,2)(a6＋a8－a8)＝eq \f(1,2)a6＝8.
答案 C
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
答案 1
5．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a9＝－24＋8d≤0,a10＝－24＋9d>0))解得：eq \f(8,3)答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3))
6．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解 显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则
(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则
(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则
(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
综合提高 限时25分钟
7．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )．
A.eq \r(3) B．±eq \r(3) C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝eq \f(4π,3).
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan eq \f(8π,3)＝tan eq \f(2π,3)＝－eq \r(3).
答案 D
8．(2011·本溪高二检测)在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为( )．
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．－eq \f(6,7) D．－1
解析 设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，∴d＝eq \f(a5－a1,9－1)＝eq \f(2－8,8)＝－eq \f(3,4).
答案 B
9．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
解析 因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，
又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
答案 19
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq \f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝________.
解析 由题意设这4个根为eq \f(1,4)，eq \f(1,4)＋d，eq \f(1,4)＋2d，eq \f(1,4)＋3d.
则eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋3d))＝2，∴d＝eq \f(1,2)，
∴这4个根依次为eq \f(1,4)，eq \f(3,4)，eq \f(5,4)，eq \f(7,4)，
∴n＝eq \f(1,4)×eq \f(7,4)＝eq \f(7,16)，m＝eq \f(3,4)×eq \f(5,4)＝eq \f(15,16)或n＝eq \f(15,16)，m＝eq \f(7,16)，
∴|m－n|＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
11．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能知道该数列从第几项开始为正数吗？
解 法一 由等差数列an＝a1＋(n－1)d列方程组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋10d＝－26，,a1＋50d＝54，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－46，,d＝2.))
∴a14＝－46＋13×2＝－20.
∴an＝－46＋(n－1)·2＝2n－48.
令an≥0，即2n－48≥0⇒n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数．
法二 在等差数列{an}中，根据an＝am＋(n－m)d，
∴a51＝a11＋40d，
∴d＝eq \f(1,40)(54＋26)＝2.
∴a14＝a11＋3d＝－26＋3×2＝－20.
∴an＝a11＋(n－11)d＝－26＋2(n－11)，
∴an＝2n－48.显然当n≥25时，an>0.
即从第25项开始各项为正数．
12．(创新拓展)已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．
(1)解 设数列{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，
若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，
则2p＝0，即p＝0.
∴当p＝0时，数列{an}是等差数列．
(2)证明 ∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)．
∴对任意的实数p和q，数列{an＋1－an}都是等差数列．