高中人教版新课标A2.4 等比数列第1课时学案

第1课时　等比数列

1．理解等比数列的概念，明确“同一个常数”的含义．

2．掌握等比数列的通项公式及其应用．

3．会判定等比数列，了解等比数列在实际中的应用．

1．等比数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的____，通常用字母q(q≠0)表示．

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．

【做一做1】 等比数列3,6,12,24的公比q＝__________.

2．通项公式

等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an＝______(a1≠0，q≠0)．

【做一做2】 等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于(　　)

A．6         B．3×2n－1

C．2×3n－1        D．6n

3．等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项．

等比中项的性质：

(1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．

G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．

(2)当G2＝ab时， G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．

【做一做3】 4与9的等比中项为(　　)

A．6     B．－6     C．±6     D．36

答案：1．比　公比

【做一做1】 2

2．a1qn－1

【做一做2】 C

3．G

【做一做3】 C

1．理解等比数列的定义

剖析：可以从以下几个方面理解等比数列的定义：

(1)公比q≠0，这是必然的，也就是说，不存在公比q＝0的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在数值为0的项．

(2)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有任意性的，但须注意是从“第2项”起．

(3)每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”．

(4)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒．

(5)定义还可用数学符号语言叙述为：

在数列{an}中，若＝q(其中q是常数，q≠0，n∈N*)，则{an}是等比数列.＝q(q≠0，n∈N*)也是说明一个数列是等比数列的依据．

(6)各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列．

2．理解等比数列的通项公式

剖析：(1)已知等比数列的首项a1与公比q可求得任何一项．

(2)在通项公式中，知道a1，q，n，an四个量中的三个，可以求得另一个量，即“知三求一”．

(3)通项公式的推广式为an＝am·qn－m，由此可知，已知等比数列的任意两项，这个数列就是一个确定的数列．

(4)对于选择题或填空题还可以直接用以下结论：

①如果数列{an}的通项公式是an＝aqkn＋b(a，k，b，q是常数，a≠0，q≠0)，那么数列{an}是等比数列．

②如果数列{an}满足a2n＝an－1an＋1(an－1，an，an＋1均不为0，n∈N)，那么数列{an}是等比数列．

3．等比数列与指数函数的关系

剖析：等比数列的通项公式可整理为an=qn.当q＞0，且q≠1时，y=qx(q≠1)是一个不为零的常数与指数函数qx的乘积．表示数列中的各项的点是函数y=qx的图象上的孤立的点．如图，表示等比数列{2n-1}的各点都在函数y=2x-1的图象上．

题型一  求等比数列的通项公式

【例题1】 在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.

分析：设公比q，列出关于a1和q的方程组来求解．

反思：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解(如本题求an)．此类问题求解的通法是根据条件，利用等比数列通项公式，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.其中解这类方程组常用的技巧是两个方程相除．

题型二  等比数列的判定和证明

【例题2】 已知数列{an}满足lg an＝3n＋5，求证：{an}是等比数列．

分析：可由lg an＝3n＋5求出an，再证明是与n无关的常数．

反思：证明数列是等比数列常用的方法：

①定义法：＝q(q≠0，且是常数)或＝q(q≠0，且是常数)(n≥2){an}为等比数列．此法适用于给出通项公式的数列，如本题．

②等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*){an}为等比数列．此法适用于通项公式不明确的数列．

③通项法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*){an}为等比数列．此法适用于做选择题和填空题．

题型三  应用问题

【例题3】 某工厂2010年1月的生产总值为a万元，计划从2010年2月起，每个月生产总值比上一个月增长m%，那么到2011年8月底该厂的生产总值为多少万元？

分析：转化为求等比数列的一项．

反思：利用数列解决实际问题的关键是建立含有数列的数学模型，本题的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列．

题型四  易错辨析

【例题4】 2＋与2－的等比中项是__________．

错解：设2＋与2－的等比中项为G，

则G2＝(2＋)(2－)＝4－3＝1，故G＝1.

错因分析：两个同号的实数的等比中项有两个，且互为相反数．错解中只求了一个．

反思：两个实数的等比中项可能有两个，也可能没有，但一定不能只有一个．

答案：【例题1】 解：设等比数列{an}的公比为q，

则有

由①÷②，得q＝或q＝2.

当q＝时，a1＝－16.

当q＝2时，a1＝1.

故an＝－16·n－1或an＝2n－1.

【例题2】 证明：∵lg an＝3n＋5，∴an＝103n＋5.

∴an＋1＝103(n＋1)＋5＝103n＋8.

∴＝＝1 000.

∴数列{an}是等比数列．

【例题3】 解：设从2010年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，

∴＝1＋m%，

∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．

∴an＝a(1＋m%)n－1.

∴2011年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．

【例题4】 正解：设2＋与2－的等比中项为G，

则G2＝(2＋)(2－)＝4－3＝1，∴G＝±1.

∴2＋与2－的等比中项为±1.

1 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)

A．243    B．128    C．81     D．64

2(2011·浙江杭州一模)已知等比数列前3项为，，，则其第8项是__________．

3在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝__________.

4一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后__________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB＝210 KB)．

5在数列{an}中，an＝7·3n，求证：数列{an}是等比数列．

答案：1．D　2.　3.4　4.45

5．证明：∵，

∴数列{an}是等比数列．