人教版新课标A必修52.4 等比数列第2课时学案

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第2课时　等比数列的性质1．复习巩固等比数列的概念及其通项公式．2．掌握等比中项的应用．3．掌握等比数列的性质，并能解决有关问题．1．等比数列的定义及通项公式【做一做1】 等比数列{an}的公比q＝3，a1＝，则a5等于(　　)A．3      B．9     C．27      D．812．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成________，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式________．【做一做2】 已知10是a与20的等比中项，则a＝__________. 答案：1．同一个常数　公比　q　an＝a1qn－1　an＝an－1q【做一做1】 C2．等比数列　G2＝ab【做一做2】 51．等比数列的性质剖析：已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q(q≠0)，则an＝a1·qn－1.(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列；当q＜0时，数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．(2)an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (3)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，有am·an＝ap·aq.(4)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝am·an－m＋1.(5)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若数列{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．(6)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．(8)在数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．(9)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列．利用等比数列的通项公式易证性质(1)(2)(3)(4)，下面证明其他几条性质(5)①∵an＝a1·qn－1，∴λan＝λ·a1·qn－1＝(λa1)·qn－1.又λ≠0，∴数列{λan}是首项为λa1，公比为q的等比数列．②∵bn＝b1·(q′)(n－1)，an＝a1·qn－1，∴an·bn＝a1·qn－1·b1·(q′)(n－1)＝(a1·b1)·(q′·q)n－1.∴数列{an·bn}表示首项为a1·b1，公比为q′·q的等比数列．③由＝＝·n－1，得数列表示首项为，公比为的等比数列．④|an|＝|a1·qn－1|＝|a1|·|q|n－1，故数列{|an|}表示首项为|a1|，公比为|q|的等比数列．(6)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始每隔3项取出一项构成新数列为a4，a8，a12，a16，a20，a24，….∵an＝a1·qn－1，且新数列中＝＝＝＝＝…＝q4，∴当每隔k项取出一项时，变为＝＝＝…＝qk＋1.(7)∵an＞0且an＝a1·qn－1(q≠0)，∴lg an＝lg(a1·qn－1)．∴lg an－lg an－1＝lg(a1·qn－1)－lg(a1·qn－2)＝(lg a1＋lg qn－1)－(lg a1＋lg qn－2)＝lg qn－1－lg qn－2＝(n－1)lg q－(n－2)lg q＝lg q(常数)．∴数列{lg an}是公差为lg q的等差数列．(8)例如，等比数列{an}中，从首项a1开始，连续取相邻两项的和，构成新数列为a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，….∵＝＝＝…＝q2，∴连续取相邻k项的和时，变为：＝＝…＝qk.(9)∵m＋p＝2n且m，n，p∈N*，am＝a1·qm－1， an＝a1·qn－1，ap＝a1·qp－1，∴am·ap＝a1·qm－1·a1·qp－1＝a·qm＋p－2＝(a1·)2＝(a1·qn－1)2＝a.∴am，an，ap成等比数列．2．等差数列与等比数列的区别与联系剖析：等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示． 等差数列等比数列不同点(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为0；(3)任意两个实数的等差中项唯一；(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，am＋an＝ap＋aq.(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为0；(3)两个同号实数(不为0)的等比中项有两个值；(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)时，aman＝apaq.相同点(1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．联系(1)若{an}为正项等比数列，则{logman}为等差数列，其中m＞0，且m≠1.(2)若{an}为等差数列，则{ban}为等比数列；(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列.3.在等比数列{an}中，若m＋n＝k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝ak不成立．剖析：设等比数列{an}的公比为q，则am＋an＝a1qm－1＋a1qn－1＝a1q－1(qm＋qn)，ak＝am＋n＝a1qm＋n－1＝a1q－1(qm＋n)．由于qm＋qn＝qm＋n不成立，则am＋an＝ak不成立．根据以上推导过程也可知，此时aman＝ak也不成立．例如，等比数列{an}的公比q＝2，a1＝1，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a1＋a2＝3≠a3，a1a2＝2≠a3.题型一  等比数列的性质的应用【例题1】 已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3a9.分析：既可以利用通项公式计算，也可以运用等比数列的性质计算．反思：在等比数列的有关运算中，常涉及到次数较高的指数运算，若按常规解法，往往是建立关于a1和q的方程(组)，这样解起来比较麻烦，如本题解法二．而采用等比数列性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果，如本题解法一．题型二  等比中项的应用【例题2】 已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数．分析：适当地设这四个数是解决本题的关键．可利用a，q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两数设为，aq，列方程解得a，q.这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．反思：合理地设出所求的数是解决此类问题的关键．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d. 答案：【例题1】 解法一：∵a2a10＝a26，∴a2a6a10＝a36＝1，∴a6＝1.∴a3a9＝a26＝1.解法二：设公比为q，则a2a6a10＝a1q·a1q5·a1q9＝a31q15＝1，∴a1q5＝1.∴a3a9＝a1q2·a1q8＝(a1q5)2＝1.【例题2】 解：设所求四个数为－aq，，aq，aq3，则由已知，得解得a＝4，q＝2或a＝4，q＝－2或a＝－4，q＝2或a＝－4，q＝－2.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.1在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为(　　)A．－64     B．64     C．－48     D．482等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)A．－6     B．－8    C．8      D．63在等比数列{an}中，a2 011a2 012a2 013＝64，则a2 012＝__________.4有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．5等比数列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比数列的通项公式an. 答案：1．A　2.A　3.44．解：由题意设此四个数为，b，bq，a，则有解得或所以这四个数为1，－2,4,10或，－2，－5，－8.5．解：设等比数列的首项为a1，公比为d，由题意得或∴q5＝或，∴q＝2或.∴an＝a2qn－2＝2n－1或.∴an＝2n－1或an＝28－n.