2021学年2.3 等差数列的前n项和第1课时一课一练

第2章  2.3  第1课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)

A．12　　　　　　　　　　　 B．13

C．14   D．15

解析：　S5＝＝25

∴a1＋a5＝10，又∵a1＋a5＝2a3

∴a3＝5，a2＝3，∴d＝2

∴a7＝a3＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选B.

答案：　B

2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则数列{an}的前10项和S10＝(　　)

A．138   B．135

C．95   D．23

解析：　方法一：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得2a1＋4d＝4,2a1＋6d＝10，从而可得a1＝－4，d＝3，所以S10＝10a1＋45d＝95.故选C.

方法二：(a3＋a5)－(a2＋a4)＝(a3－a2)＋(a5－a4)＝2d＝6，从而d＝3；又a2＋a4＝2a3＝4，从而a3＝2，所以S10＝＝＝＝95.故选C.

方法三：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，得a4＋a6＝16，a5＋a7＝22，于是a4＋a7＝＝19，所以S10＝＝＝95.故选C.

方法四：注意到a2＋a4＝2a3＝4，a3＋a5＝2a4＝10，∴a3＝2，

a4＝5.又Sn＝an2＋bn，所以a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝2，a4＝S4－S3＝16a＋4b－(9a＋3b)＝5，从而a＝，b＝－，

即Sn＝n2－n，所以S10＝95.故选C.

答案：　C

3．已知{an}是等差数列，a10＝10，前10项和S10＝70，则公差d＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

解析：　S10＝＝5(a1＋10)＝70，

解得a1＝4.∴d＝＝.故选D.

答案：　D

4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)

A．21   B．20

C．19   D．18

解析：　∵{an}为等差数列，

∴a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，

a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，

d＝a4－a3＝33－35＝－2，

∴{an}是递减数列．

an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，

an≥0，－2n＋41≥0，n≤，

∴当n≤20时，an>0，

∴n＝20时，Sn最大，故选B.

答案：　B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k＝________.

解析：　由Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得7.5<k<9，故k＝8.

答案：　8

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.

解析：　由a6＝S3＝12可得{an}的公差d＝2，首项a1＝2，故易得an＝2n.

答案：　2n

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.

解析：　设{an}的公差为d，则

即

解得或

因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)

或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．

8．已知f(x＋1)＝x2－4，在递增的等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)．

(1)求x的值；

(2)求通项公式an；

(3)求a2＋a5＋a8＋…＋a26的值．

解析：　(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，得f(t)＝(t－1)2－4，

即f(x)＝(x－1)2－4.

由a1，a2，a3成等差数列，得f(x－1)＋f(x)＝－3，

即2x2－6x＝0，解得x＝0或x＝3.

当x＝0时，a1＝f(－1)＝0，公差d＝－<0，舍去；

当x＝3时，a1＝f(2)＝－3，公差d＝>0，

故所求的x的值为3.

(2)因为x＝3，所以首项a1＝－3，公差d＝，

所以通项公式为an＝n－.

(3)因为数列{an}为等差数列，故a2，a5，a8，…，a26也成等差数列，且公差为3d＝，

所以a2＋a5＋a8＋…＋a26＝×9＋×＝，

即a2＋a5＋a8＋…＋a26的值为.

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝.

(1)求公差d；

(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项；

(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．

解析：　(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，

解得d＝1.所以公差d为1.

(2)∵a1＝－，∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n－，∴bn＝1＋＝1＋.

∵函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，

∴当1≤n≤3时，b3<b2<b1<1；

当n≥4时，1<bn<b4.

∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1，

故数列{bn}中的最大项和最小项分别为3，－1.

(3)由bn＝1＋，得bn＝1＋.

又函数f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，

∴当x<1－a1时，f(x)<1；

当x>1－a1时，f(x)>1.

∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，

∴7<1－a1<8，∴－7<a1<－6，

∴a1的取值范围是(－7，－6)．