数学必修52.4 等比数列教案

课    题：3.4 等比数列（二）

教学目的：

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.深刻理解等比中项概念.

3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

教学重点：等比中项的理解与应用

教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）

2.等比数列的通项公式:

，

3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）

  “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

   二、讲解新课：  

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.  即G=±（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则，

反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列

∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）

2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则

在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？

由定义得： 

  ，

则

3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

4．等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, {}是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;

三、例题讲解

例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

求证： 也成等比数列

证明：由题设：b2=ac   得：

∴ 也成等比数列

例2 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.

证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为：

它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.

例3  (1) 已知{}是等比数列，且, 求

        (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列，成等比数列，求

解：(1) ∵{}是等比数列，

∴ ＋2＋＝(＋)＝25,

又>0, ∴＋＝5;

        (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2,

又a, 1, c成等比数列, ∴a c＝1, 有ac＝1或ac＝－1,

当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，

        ∴ ac＝－1,  

         ∴  .

例4 已知无穷数列，

      求证：（1）这个数列成等比数列

           （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，

           （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1）（常数）∴该数列成等比数列

        （2），即：

         （3），∵，∴

            ∴且，

∴，（第项）

四、练习：

1．求与的等差中项；

解：(＋)＝5;

2．求a＋ab与b＋ab的等比中项

      解：±＝±ab(a＋b).

五、小结  本节课学习了以下内容：

1．若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项.

2．若m+n=p+q，

3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

六、课后作业：

1、在等比数列，已知，，求

     解：∵，∴

      2、在等比数列中，，求该数列前七项之积

     解：

     ∵，

∴前七项之积

3、在等比数列中，，，求，

     解：

   另解：∵是与的等比中项，∴

         ∴

七、板书设计（略）

八、课后记：