高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列导学案

等比数列

一、学习目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．

二、自主学习：

【课前检测】1.（2010年海淀二模12）已知数列满足，（N），则的值为             . 答案：48。

2．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ D ）

A.d>              B.d<3             C.≤d<3         D.<d≤3

2.等比数列的判定：{an}为等比数列

3.。       推广：

解读：1）并非任何两数总有等比中项.仅当实数a,b同号时,实数a,b才存在等比中项,且同号两实数a,b的等比中项不仅存在,而且有一对为±, 也就是说,两实数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有一对(同号时).2）{an}为等比数列是an+12=an·an+2的充分但不必要条件.3）若证{an}不是等比数列，只需证ak2≠ak－1ak+1（k为常数，k∈N，且k≥2）.

4．解题小技巧：

三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：（是公比）。

5.等比数列与函数

1）等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中

2）等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：

6.待定系数法：等比数列，设

7.等比数列的定义、通项公式、求和公式、性质等

三、合作探究：

题型1   等比数列的基本运算

例1   （1）已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．（2）设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求首项、公比及项数n．

解：（1）∵{an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，

∴， 解得或

若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64    ∴qn＝32q，由Sn＝，

q＝2，于是n＝6

若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2    ∴qn＝   由Sn＝

q＝，n＝6

（2）若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴

两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1         又∵q>0，∴ q>1，a1>0

∴ {an}是递增数列．          ∴ an＝27＝a1qn－1＝

解得  a1＝1，q＝3，n＝4

变式训练1  已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝     ．答案：64或1

解：由

•   或  ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，

∴ a11＝64或a11＝1

小结与拓展：1）方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”。a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．2）在等比数列中，若公比q>0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3）在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，使用公式Sn＝；当q＝1时，使用公式Sn＝na1。若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．

题型2   等比数列的性质

例2   （1）在等比数列中，若，, 则公比       2

（2）在等比数列中,若是方程的两根，则

=____ 。5

（3）若等比数列的前项和为，则常数的值等于（ D ）

A．       B．        C．         D．

（4）已知等比数列中，，，则前9项之和等于（ B ）

A．50              B．70           C．80              D．90

（5）设等比数列的前项和为，若，则=( B )

  A．2       B．        C．        D．3

（6）已知数列  。

（7）若数列成等比数列，则的值为___2____．

题型3   等比数列的判断与证明

例3   （2010年东城二模19）已知数列的前项和为，，，设．证明数列是等比数列；

证明：由于，       ①           当时，．  ②

①②得 ．       所以．

又，所以．

因为，且，所以．

所以．  故数列是首项为，公比为的等比数列．

变式训练2   已知数列的前项和为，且，.

（1）求的值；（2）求数列的通项公式；

解：（1）∵，∴，

，，

（2）∵，∴，

∴，

又，∴数列自第项起是公比为的等比数列.∴

小结与拓展： {an}为等比数列

题型4   等比数列的综合应用

例4   数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1（n≥2），若an+Sn=n.

（1）设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.

证明：（1）∵a1=S1，an+Sn=n，∴a1+S1=1，得a1=.

又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2（an+1－1）=an－1，

即=，也即=，故数列{cn}是等比数列.

解：（2）∵c1=a1－1=－，

∴cn=－，an=cn+1=1－，an－1=1－.

故当n≥2时，bn=an－an－1=－=.又b1=a1=，即bn=（n∈N*）.

变式训练3  在数列中，， .（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式。

解：（Ⅰ）， ，

，   .       

证明：（Ⅱ），

数列是首项为，公比为的等比数列.

，  即，

的通项公式为 .

小结与拓展：可以构造等比数列来求非等比数列的通项公式。

四、课堂总结：1．解决等比数列有关问题的常见思想方法：

（1）方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”，有时灵活地运用性质，可使运算简便。；

（2）分类讨论的思想：分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.

2．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：

（1）利用定义，证明（n≥2）为常数；

（2）利用等比中项，即证明an2=an－1·an+1（n≥2）.

3．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．

五、检测巩固：

 1．若数列（*）是等差数列，则有数列（*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列．

2．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是．

说明：． 

六、学习反思：