高中数学2.2 等差数列复习课件ppt

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1.等差数列的定义及等差中项(1)如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示.定义的表达式为an+1-an=d(n∈N*).
(2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等差数列中am、an、ap、aq的关系为am+an=ap+aq;如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,其中
2.等差数列的通项公式及前n项和公式等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d;前n项和公式为Sn= 或
3.等差数列的性质(1)等差数列的通项是关于自然数n的一次函数(d≠0).(n,an)是直线上的一群孤立的点,an=an+b(a、b是常数)是{an}成等差数列的充要条件.(2)等差数列{an}的首项是a1,公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则 当d≠0时它表示二次函数,数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件.
(3)等差数列的增减性,d>0时为递增数列,且当a1<0时前n项和Sn有最小值.d<0时为递减数列,且当a1>0时前n项和Sn有最大值.
4.与等差数列有关的结论(1)若数列{an}和{bn}是等差数列,则{man+kbn}仍为等差数列,其中m,k为常数.(2)等差数列中依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,且公差为k2d(d是原数列公差).(3)项数为偶数2n的等差数列{an},有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项);S偶-S奇=nd;
(4)项数为奇数2n-1的等差数列{an},有S2n-1=(2n-1)an(an为中间项);S奇-S偶=an; S奇､S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.
5.与等差数列有关的规律(1)等差数列{an}中,若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0.(2)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).(3)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.(4)若{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与S′n,则
6.等差数列的判定方法(1)定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
1.设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}前8项的和为()A.128D.56
2.(2010·山东烟台高三诊断)在等差数列{an}中,若前5项和S5=20,则a3等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=20.∴a3=4.答案:A
3.(2010·辽宁大连高三一模)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9- a11的值为()A.14D.17
4.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a1000等于()A.5B.-5C.1D.-1解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…由此可得a1000=-1.
解法二:∵an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1(n∈N*),两式相加可得an+3=-an,an+6=an,∴a1000=a166×6+4=a4=-a1=-1.答案:D
类型一等差数列的判断与证明解题准备:证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*);(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).注意:在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法.
【典例1】已知数列{an}的通项公式an=pn2+qn(p、q∈R,且p、q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列;(2)求证:对任意实数p和q,数列{an+1-an}是等差数列.[解](1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0.故当p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q,∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.∴{an+1-an}是等差数列.
类型二等差数列的基本量运算解题准备:①等差数列{an}中,a1和d是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前n项和公式,列方程组解a1和d,是解决等差数列问题的常用方法;②由a1,d,n,an,Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解.
【典例2】已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序排成一个新的数列,试求新数列的前n项和An.
(2)∵An=a2+a4+a8+…+a2n=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+…+(3×2n+2)=3×(2+4+8+…+2n)+2n=3× +2n=3×2n+1+2n-6.[反思感悟]先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新数列中的各项,再求和.
类型三等差数列的性质及应用解题准备:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的是公差为k2d的等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用.
【典例3】在等差数列中,Sn表示{an}的前n项和,(1)a3+a17=10,求S19的值;(2)a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,Sn=210,求项数n;(3)S4=1,S8=4,求a17+a18+a19+a20的值.
(3)∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=1,S8-S4=3.∴新的数列前5项分别为1,3,5,7,9.∴S20-S16=a17+a18+a19+a20=9.
类型四等差数列前n项和的最值问题解题准备:求等差数列前n项和Sn的最值问题,主要有以下方法:①二次函数法:将Sn看作关于n的二次函数,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合,使问题得解;②通项公式法:求使an≥0(或an≤0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值;
③不等式法:借助Sn最大时,有 解此不等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值).
【典例4】已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn,且a3=10,S6=72.若bn= an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.[分析]先判断{an}是等差数列,求an,再求bn,由{bn}的通项研究数列{bn}的前n项和的最值.
[解]∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列,设{an}的首项为a1,公差为d,由a3=10,S6=72,得
[反思感悟]除上面方法外,还可将{an}的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方法求解.
错源一忽略数列项数【典例1】已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N+),求数列{|an|}的前n项和Tn.[错解]当n=1时,a1=S1=9;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=11-2n.由于n=1时,a1=9也满足an=11-2n,因此an=11-2n.由11-2n>0,得
即从第6项开始数列各项为负,那么Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)+2(a1+a2+…+a5)=-Sn+2S5=n2-10n+2×(10×5-52)=n2-10n+50.[剖析]错解中忽视了“项数”,默认了n>5,事实上,n完全可以小于或等于5.显然,当n≤5时,结论就是错的.
[正解]对n进行分类:(1)由上述可知an=11-2n.当n>5时,同上述错解,得Tn=n2-10n+50;(2)当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=10n-n2.
错源二忽略为零的项【典例2】在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,且S10=S15,求n取何值时,Sn有最大值,并求出最大值.
[剖析]这是一个首项为正的递减的等差数列,零是这个数列的项吗?由于a1=10,d= ,得10+(13-1)× 也就是说零是这个数列的第13项,于是答案就出错了.
[正解]由于a1=10>0,d= 即数列{an}是一个首项为正的递减的等差数列,又由于a13=0,由上述解法可知,该数列的前12或13项的和最大,其值为65.
错源三对数列的有关概念理解有误【典例3】已知数列{an}是递增数列,且对于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是________.
[错解]因为an=n2+λn是关于n的二次函数,且n≥1,所以 ≤1,解得λ≥-2.[剖析]数列是以正整数N+(或它的有限子集{1,2,…,})为定义域的函数,因此它的图象只是一些孤立的点,满足条件的此数列的点分布如图.
[正解]解法一:由图分析得, ,所以λ>-3.解法二:由{an}是递增数列,得an-(2n+1).而-(2n+1)≤-3,所以λ>-3.[答案](-3,+∞)
技法一活用变式,出奇制胜【典例1】已知等差数列{an}中,ap=q,aq=p(q≠p),求ap+q.[解题切入点]由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得变式:①an=am+(n-m)d或② (n≠m),利用此变式可快速求解.
[解]解法一:由变式①得:q=p+(p-q)d,所以d=-1.所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.解法二:由变式②得:所以 所以ap+q=0.
解法三:因为an=a1+(n-1)d,所以点(n,an)在一条直线上.
不妨设pq时,同理可得ap+q=0.
[方法与技巧]在解题时,巧妙地利用等差数列的变式,常常能出奇制胜,达到简捷明快的目的.
技法二设而不求,化繁为简【典例2】在等差数列{an}中,Sm=Sn(m≠n),求Sm+n.