高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列测试题

2-4-1技能训练基础巩固强化

一、选择题

1．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　)

A．3　　　　 B．4　　　　

C．5　　　　 D．6

2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)

A．64   B．81 

C．128   D．243

3．(2011·醴陵二中、四中高二期中联考)等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则a5＝(　　)

A．16   B．16或－16

C．32   D．32或－32

4．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是(　　)

A．m>k

B．m＝k

C．m<k

D．m与k的大小随q的值而变化

5．(2011·山东临清实验高中高二期中)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝(　　)

A.   B.

C.   D．2

6．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)

A．b＝3，ac＝9   B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9   D．b＝±3，ac＝9

二、填空题

7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.

8．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．

9．已知等比数列{an}，a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则{an}的通项公式为__________．

三、解答题

10．(2009·福建)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

能力拓展提升

一、选择题

11．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)

A.   B.

C.   D.或

12．(2011·福建三明市期末联考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为(　　)

A.   B．4 

C．2   D.

13．(2011·浏阳高二检测)若a，b，c成等比数列，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(　　)

A．必有两个不等实根

B．必有两个相等实根

C．必无实根

D．以上三种情况均有可能

14．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log ax，log bx，log cx(　　)

A．依次成等差数列

B．依次成等比数列

C．各项的倒数依次成等差数列

D．各项的倒数依次成等比数列

二、填空题

15．从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)．

16．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．

三、解答题

17．数列{an}中，前n项和Sn＝2n－1，求证：{an}是等比数列．

[分析]　可先利用an与Sn的关系求出an，再用定义证明．

18．某市2011年底人口为20万人，人均住房面积为8m2，计划2015年底人均住房达到10m2，如果该市将每年人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.

详解答案

1[答案]　B

[解析]　·()n－1＝，∴()n－1＝＝()3∴n＝4.

2[答案]　A

[解析]　∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，

∴设等比数列的公比为q，

则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.

∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，

∴a7＝a1q6＝26＝64.

3[答案]　A

[解析]　a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.

4[答案]　C

[解析]　m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)

＝(a5－a4)－(a7－a6)

＝a4(q－1)－a6(q－1)＝(q－1)(a4－a6)

＝(q－1)·a4·(1－q2)

＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．

5[答案]　B

[解析]　设公比为q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，

因为等比数列{an}的公比为正数，所以q＝，

故a1＝＝＝，故选B.

6[答案]　B

[解析]　由条件知，

∵∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3，故选B.

7[答案]　3·2n－3

[解析]　∵，∴

∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.

8[答案]　648

[解析]　设公比为q，则8q6＝5 832，∴q6＝729，

∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.

9[答案]　an＝2n－1或an＝(－2)n－1

[解析]　设等比数列{an}的公比为q，则

20＝a3＋a5＝q2(a1＋a3)＝5q2，

∴q2＝4，∴q＝±2，

代入a1＋a3＝5中，得a1＝1，

当q＝2时，an＝2n－1；

当q＝－2时，an＝(－2)n－1.

10[解析]　(1)设{an}的公比为q，

由已知得16＝2q3，解得q＝2，

∴an＝a1qn－1＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，

设{bn}的公差为d，则有

解得

从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，

∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.

11[答案]　C

[解析]　∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，

∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，

∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.

∴＝＝＝.

12[答案]　C

[解析]　∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，

∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，

∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，

∴公比q＝＝＝2，故选C.

13[答案]　C

[解析]　∵a，b，c成等比数列，

∴b2＝ac>0.

又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac<0，

∴方程无实数根．

14[答案]　C

[解析]　＋

＝log xa＋log xc＝log x(ac)＝log xb2

＝2log xb＝

∴，，成等差数列．

15[答案]　15.5

[解析]　每次剩下原来的，∴逐次剩下的酒精量就构成以19为首项，以为公比的等比数列{an}，

∴an＝19·()n－1

∴a5＝19·()4＝19×0.954≈15.5 (L)，

故倒5次后容器中剩下纯酒精15.5L.

16[答案]　x＋y－7＝0

[解析]　由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，

∴MN的中点(4,3)，kMN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.

17[证明]　当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)

＝2n－2n－1＝2n－1.

又当n＝1时，2n－1＝21－1＝1＝a1，

∴an＝2n－1.

∴＝＝2(常数)，

∴{an}是等比数列．

18[解析]　设这个城市平均每年要新增住房x万m2，据题意20×8＋4x＝20(1＋1%)4·10

∴x＝50×1.014－40≈12.

答：这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.