人教版新课标A2.4 等比数列第1课时一课一练

2.4　等比数列

第1课时　等比数列的概念及通项公式

双基达标　限时20分钟

1．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是     (　　)．

A．1     B.     C.     D.

解析　a4＝a3q＝a3·＝×＝＝30＝1.

答案　A

2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于     (　　)．

A．64     B．81     C．128    D．243

解析　由，得

∴a7＝a1q6＝64，选A.

答案　A

3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么        (　　)．

A．b＝3，ac＝9       B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9      D．b＝－3，ac＝－9

解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，

∴b＝－3，且a，c必同号．

∴ac＝b2＝9.

答案　B

4．在等比数列{an}中，若2a4＝a6－a5，则公比q是________．

解析　法一　由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，

∴q＝－1或q＝2.

法二　∵a5＝a4q，a6＝a4q2，

∴由已知条件得2a4＝a4q2－a4q，

即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2.

答案　－1或2

5．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.

解析　由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，

得a＝5，则a1＝4，q＝＝，an＝4·n－1.

答案　4·n－1

6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．

(1)求a1及an；

(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

解　(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，

an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．

a1＝k＋1也满足上式，

所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.

(2)由am，a2m，a4m成等比数列，

得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，

将上式化简，得2km(k－1)＝0，

因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.

综合提高　限时25分钟

7．下列数列为等比数列的是            (　　)．

A．2,22,222，…  　　       B.，，，…

C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…  　　 D．0,0,0，…

解析　A项中，≠，∴A不是；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0,0,0，…，∴不是；D项显然不是．

答案　B

8．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则，，(　　)．

A．是等差数列但不是等比数列

B．是等比数列但不是等差数列

C．既是等差数列又是等比数列

D．既不是等差数列也不是等比数列

解析　可分别求得＝，＝1，×＝1，由等比中项易得，，三者构成等比数列．

答案　B

9．数列{an}中，a1＝1且an＋1＝3an＋2，则an＝________.

解析　由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，

令an＋1＝bn则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＝2，

∴{bn}是以2为首项，以3为公比的等比数列，

∴bn＝2·3n－1，∴an＝bn－1＝2·3n－1－1.

答案　2·3n－1－1

10．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是________个．

解析　∵f(1,1)＝1且f(m＋1,1)＝2f(m,1)，

∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列，

∴f(5,1)＝1·24＝16，∴(2)正确；

当m＝1时，条件①变为f(1，n＋1)＝f(1，n)＋2，

又f(1,1)＝1，

∴数列{f(1，n)}是以1为首项，以2为公差的等差数列，

∴f(1,5)＝f(1,1)＋4×2＝9.故(1)正确．

∵f(5,1)＝16，f(5，n＋1)＝f(5，n)＋2，

∴{f(5，n)}也成等差数列．

∴f(5,6)＝16＋(6－1)·2＝26，

∴(3)正确，故有3个正确．

答案　3

11．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．

(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；

(2)求an.

解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，

a3＝3a2－2×3＋3＝－15.

下面证明{an－n}是等比数列：

证明　＝

＝＝3(n＝1,2,3，…)．

又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．

(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，

∴an＝n－2·3n－1.

12．(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn，Sn与an满足关系Sn＝2－an(n∈N*)．

(1)求an＋1与an的关系式，并求a1的值；

(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式；

(3)是否存在常数p使数列{an＋1－pan}为等比数列？若存在，请求出常数p的值；若不存在，请说明理由．

 (1)解　∵Sn＝2－an①

∴Sn＋1＝2－an＋1②

②－①得an＋1＝an－an＋1，

即an＋1＝an，

即an＋1＝an.而a1＝2－a1，∴a1＝.

(2)证明　由(1)知＝·，而＝，

∴是以为首项，以为公比的等比数列，

∴＝·n－1＝n，∴an＝.

(3)解　∵an＋1－pan＝－＝.

由等比数列的通项公式知若{an＋1－pan}是等比数列，

则1－2p＝0，∴p＝.