高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列教案配套课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列教案配套课件ppt，共22页。PPT课件主要包含了自学导引，同一常数，等比中项，a1qn－1，名师点睛，变式1，变式2，变式3等内容，欢迎下载使用。
等比数列的概念如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比等于_________，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，通常用字母q表示(q≠0)．
：常数列一定是等比数列吗？提示：不一定．当常数列为非零常数列时，此数列为等比数列，否则不是．
等比中项等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝______.
：推导等比数列的通项公式有哪些方法？提示：等比数列的通项公式的推导有下列三种方法：归纳法：由等比数列的定义可以得到a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，归纳得an＝a1qn－1.迭代法：因为{an}是等比数列，所以an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a1qn－1，所以an＝a1qn－1.
等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．
等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列．等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．(2)在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
题型一　等比数列通项公式的应用
在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[思路探索] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[思路探索] 本题主要考查等比数列的基本运算和等比中项的求法．
题型二　等比中项的应用
已知b是a与c的等比中项．求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．证明　∵b是a和c的等比中项，∴b2＝ac，且a，b，c均不为零，∴(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a3c＋2a2c2＋ac3.又∵(a2＋b2)·(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a3c＋a2c2＋a2c2＋ac3＝a3c＋2a2c2＋ac3.∴(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)．又∵a2＋b2≠0，b2＋c2≠0，∴ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．审题指导 (1)变形递推公式，按等比数列的定义证明；(2)求出{an＋1}的通项公式，即可求出an.[规范解答] (1)证明　法一　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.所以数列{an＋1}是等比数列． (6分)
题型三　等比数列的判定
∴数列{an＋1}是等比数列． (6分)(2)解　由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. (12分)
判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：(1)定义法(2)等比中项法an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．
已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
通过观察图形特征，帮助学生发现图形所表示数的规律和特点．一方面，培养学生发现图形特征和规律的能力；另一方面，在单纯发现数列的规律比较困难的情况下，可以借助图形帮助解决；反之，在观察图形特征比较困难的情况下，也可以考虑从观察数列特点入手进行解决． 图(1)是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试求第n个图形的边长和周长．
方法技巧　数形结合思想在等比数列中的应用
[思路分析] 关键是找到周长与n的关系，即找到由周长所构成的数列的通项公式．解　设第n个图形的边长为an.要计算第n个图形的周长，只需计算第n个图形的边数．第1个图形的边数为3，因为从第2个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为
方法点评 解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改变，但其变化规律不改变．事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．