人教版新课标A必修52.5 等比数列的前n项和教学设计

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1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导方法．
2．能利用等比数列的前n项和公式解决有关问题．
3．掌握等比数列前n项和的性质及应用．
等比数列的前n项和公式
数列{an}是公比为q的等比数列，则
当q＝1时，Sn＝____；
当q≠1时，Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)＝________.
(1)在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
(2)当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)较好；若已知an，则用公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)较好．
【做一做】 等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn等于( )
A．n2＋n B．n2－n
C．2n＋1－2 D．2n－1
答案：na1 eq \f(a1－anq,1－q)
【做一做】 C
1．等比数列的前n项和公式与函数的关系
剖析：①当公比q≠1时，我们已经求得等比数列的前n项和公式是Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)，它可以变形为Sn＝－eq \f(a1,1－q)·qn＋eq \f(a1,1－q)，设A＝eq \f(a1,1－q)，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数．
②当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
2．等比数列前n项和的性质
剖析：等比数列{an}的公比为q，则有：
(1)性质1：若某数列的前n项和公式为Sn＝－A·qn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．
(2)性质2：在等比数列中，间隔相等、连续等长的片段和序列成等比数列．
即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn(q≠－1)．
在运用性质(2)时，要注意的是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，而Sm，S2m，S3m不一定成等比数列．
(3)性质3：在等比数列{an}中，当总项数为2n时，S偶＝qS奇．
(4)性质4：在等比数列{an}中，公比为q，
则a1·a2·a3·…·an＝aeq \\al(n,1)·＝，
(5)性质5：Sn＋m＝Sn＋qnSm.
推导如下：设首项为a1，公比为q.
若q＝1，显然成立．
若q≠1，则Sm＋n＝eq \f(a1(1－qm＋n),1－q)，
Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)，Sm＝eq \f(a1(1－qm),1－q)，
∴Sn＋qnSm＝eq \f(a1,1－q)(1－qn＋qn－qm＋n)＝eq \f(a1,1－q)(1－qm＋n)＝Sm＋n.
此性质还可推导如下：
Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋an＋m－1＋an＋m
＝Sn＋a1·qn＋a2·qn＋a3·qn＋…＋am·qn
＝Sn＋qn(a1＋a2＋…＋am)
＝Sn＋qnSm.
(6){an}为等比数列Sn＝Aqn＋B(A＋B＝0)．
题型一 等比数列前n项和的有关计算问题
【例题1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
分析：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.
反思：等比数列的前n项和公式中共有五个量：Sn，an，a1，q，n.“知三求二”是常见题型，常用解方程组的方法求得，解方程组消元的策略是将所得方程相除．
题型二 等比数列前n项和的性质应用
【例题2】 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
分析：用求和公式直接求解或用性质求解．
反思：此类问题的解题通法是先利用等比数列前n项和公式建立方程组，求出a1和q，再求解；这种方法思路自然清晰，但有时运算较为复杂，如本题解法一．如果能联想相关性质，运用性质求解，可以提高解题速度，减少解题时间，如本题解法二．特别是在客观题解答中，有时能起到事半功倍之巧效．
题型三 实际应用问题
【例题3】 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加eq \f(1,4).
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．
分析：(1)先证明这n年内每年的旅游业收入组成等比数列，转化为求等比数列前n项和；(2)利用(1)的结论，转化为解不等式．
反思：1.解数列应用题的具体步骤是：
(1)认真审题，理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an，还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式．
2．价格升降、细胞繁殖、利率、税率、增长率(如本题)等问题常归结为等比数列模型，即从实际背景中抽象出数学事实，归纳转化为数列问题去解决．
题型四 易错辨析
【例题4】 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
错解：由等比数列的前n项和公式，
得S3＝eq \f(a1(1－q3),1－q)＝eq \f(2(1－q3),1－q)＝6，
解得q＝－2.
故a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
错因分析：在上面的求解过程中，没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)，从而有可能出现漏解情况．
反思：在使用等比数列的前n项和公式解题时，要注意对公比q是否为1进行讨论．当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q).
答案：【例题1】 解：由Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)及an＝a1·qn－1，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(189＝\f(a1(1－2n),1－2)，,96＝a1·2n－1.))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,,②))
①÷②，得eq \f(189,96)＝eq \f(2n－1,2n－1)，
解得2n＝64，则n＝6.代入①，得a1＝3.
【例题2】 解法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a1(1－qn),1－q)＝48，,\f(a1(1－q2n),1－q)＝60.))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,,,②))
②÷①，得1＋qn＝eq \f(5,4)，即qn＝eq \f(1,4).③
③代入①，得eq \f(a1,1－q)＝64.
故S3n＝eq \f(a1(1－q3n),1－q)＝64×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,43)))＝63.
解法二：∵{an}为等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝eq \f((S2n－Sn)2,Sn)＋S2n＝eq \f((60－48)2,48)＋60＝63.
【例题3】 解：设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))an＝eq \f(5,4)an，
∴eq \f(an＋1,an)＝eq \f(5,4).∴{an}是公比为eq \f(5,4)的等比数列．
∴Sn＝eq \f(a1(1－qn),1－q)＝eq \f(400\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n)),1－\f(5,4))
＝1 600eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))，
即n年内旅游业总收入为1 600eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))万元．
(2)由(1)知Sn＝1 600eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))，令Sn＞8 000，
即1 600eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))＞8 000，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n＞6.∴lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n＞lg 6.
∴n＞eq \f(lg 6,lg\f(5,4))≈8.029 6.
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．
【例题4】 正解：若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得S3＝eq \f(a1(1－q3),1－q)＝eq \f(2(1－q3),1－q)＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
1(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( )
A．511 B．1 023 C．1 533 D．3 069
2在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.
3已知等比数列的前20项的和为30，前30项的和为70，则前10项的和为__________．
4一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是__________．
5等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
答案：1．D 2.4n－1 3.10 4.192
5．解：(1)依题意，有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.
又q≠0，所以q＝.
(2)由已知，可得＝3，解得a1＝4.
从而Sn＝＝.