2020-2021学年2.5 等比数列的前n项和学案

第6课时

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学习要求

1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；

2．提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。

【自学评价】

1．对于分期付款，银行有如下规定：

（１）分期付款为_______计息，每期付款数________，且在期末付款；

（２）到最后一次付款时，_______________

_____________等于商品售价的本利之和．

2．若是等比数列，且公比，则数列 ，…是_____;

当，且为偶数时，数列

，…是常数数列0，它不是等比数列.

3. 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列

【精典范例】

【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？

【解】

【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率

3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？

分析：对于分期付款，银行有如下规定：

（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；

（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．

为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：

从而有

运用等比数列求和公式，化简得

这就是分期付款的数学模型．

【解】　

追踪训练一

1．     回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：

远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，

共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？

2．我国1980年底人口以十亿计算．

（１）若我国人口年增长率为1.2％，则到2005年底我国约有多少人口？

（２）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？

3．     顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？

4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？

【解】

【选修延伸】

【例3】设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。

(1)求证：数列 是等比数列；

(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。

(3)求和：b1­b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1

【解】

【例4】在数列中，求数列的前n项和Sn.

分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。

【解】

追踪训练二

1．已知等比数列｛an｝中，前n项和Sn=54,S2n=60,则S3n等于（    ）

A.64     B.66      C.60     D.66

2.数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n－1)，…，前n项和等于（    ）

A.2n+1－n       B.2n+1－n－2

C.2n－n             D.2n

3．等比数列｛an｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___ ___.