人教版新课标A第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案

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【学习导航】
知识网络

学习要求
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2．提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。
【自学评价】
1．对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
2．若是等比数列，且公比，则数列 ，…是等比数列;
当，且为偶数时，数列
，…是常数数列0，它不是等比数列.
3. 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列
【精典范例】
【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中
听课随笔
＝515，ｑ＝１＋１２％＝1.12，ｎ＝６，
则
答 从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．
【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率
3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：
从而有
运用等比数列求和公式，化简得
这就是分期付款的数学模型．
【解】 设每月应还贷ｘ元，共付款
12×10=120次，则有
化简得
答 每月应还贷款2029.66元．
追踪训练一
回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
【答案】塔顶3盏灯
2．我国1980年底人口以十亿计算．
（１）若我国人口年增长率为1.2％，则到2005年底我国约有多少人口？
（２）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？
【答案】
（1）2005年底我国约有13.5亿人口
（2）人口的年平均增长率最高是1.1％
顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？
【答案】顾客每月应付款430元
4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则
a1=1000×（1+50%）－x=1000×－x；
a2=(1000×－x)(1+50%)－x
=1000×()2－(1+)x;
依次类推得a5=1000×()5－[1++()2+()3+()4]x.
由题意知：
1000×()5－[1++()2+()3+()4]x
听课随笔
=2000
解得x≈424万元
【选修延伸】
【例3】设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。
(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
【解】(1)求得a1=S1=1 S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t, 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t, 两式相减得3tan－(2t+3)an－1=0,
∴
(2)由f(t)=
得bn=f
由此可得
(3)原式
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=
【例4】在数列中，求数列的前n项和Sn.
分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。
【解】当n=2k(k∈N+)时，a1,a3,a5,…，a2k－1，…，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，…，a2k，…成等比数列，公比为q，首项为a2=9,
.
将k=代入得
当n=2k－1时，由S2k－1=S2k－a2k，得.
追踪训练二
1．已知等比数列｛an｝中，前n项和Sn=54,S2n=60,则S3n等于（ C ）
A.64 B.66 C.60 D.66
2．已知｛an是公比为的等比数列｝，若a1+a4+a7+…+a97=100,则a3+a6+a9+…+a99的值是（ A ）
A.25 B.50 C.75 D.125
3.数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n－1)，…，前n项和等于（ B ）
A.2n+1－n B.2n+1－n－2
C.2n－n D.2n
4．等比数列｛an｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___2___.
5．若等比数列｛an｝中，S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19+a20的值等于__32____.
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑