人教版新课标A必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式第2课时学案设计

第2课时　不等式的性质

1．掌握不等式的性质及各自成立的条件．

2．能利用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．

1．关于实数大小的比较

(1)事实：如果a－b是____数，那么a＞b；如果a－b等于____，那么a＝b；如果a－b是____数，那么a－b＜0，反过来也成立．

(2)符号表示：

a－b＞0____；

a－b＝0____；

a－b＜0____.

(3)说明：“”表示“等价于”，即“”两边可以互相推出．

(4)作用：比较__________大小或证明不等式．

【做一做1】 已知x∈R，则x2＋2与2的大小关系是(　　)

A．x2＋2＞2       B．x2＋2≥2

C．x2＋2＜2       D．x2＋2≤2

2．不等式的性质

(1)对称性

证明：∵a＞b，∴a－b＞0.

由正数的相反数是负数，得－(a－b)＜0.

即b－a＜0，∴b＜a.

同理可证，如果b＜a，那么a＞b.

【做一做2－1】 与m≥(n－2)2等价的是(　　)

A．m≤(n－2)2         B．(n－2)2≥m

C．(n－2)2≤m         D．(n－2)2＜m

(2)传递性

①该性质不能逆推，如a＞ca＞b，b＞c.

②此性质可推广为a1＞a2，a2＞a3，a3＞a4，…，an－1＞ana1＞an.

③此性质说明不等式具有传递性，它是不等关系传递的基础．

【做一做2－2】 已知a＝log32，b＝log2，则有(　　)

A．a＝b       B．a＜b

C．a＞b       D．a≥b

(3)可加性

①证明：∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，

∴a＋c＞b＋c.

②本性质可以逆推，可推广为

a＞ba＋c＞b＋c.

【做一做2－3】 不等式x2＋x＞3可变为(　　)

A．x2＞3＋x      B．x2＋x＋3＞0

C．x2＋x－3＜0      D．x2＋x－3＞0

(4)加法

①证明：a＋c＞b＋d.

②此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．

③两个同向不等式只能两边同时分别相加，而不能两边同时分别相减．

④该性质不能逆推，如a＋c＞b＋da＞b，c＞d.

【做一做2－4】 已知a＜b，则有(　　)

A．a＋1＜b＋2      B．a＋1≤b＋2

C．a＋1＞b＋2      D．a－1＞b－2

(5)可乘性

①证明：ac－bc＝(a－b)c.

∵a＞b，∴a－b＞0.

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c＞0时，(a－b)c＞0，即ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，即ac＜bc.

②该性质不能逆推，如ac＞bca＞b.

③ac＞bca＞b，c＞0或a＜b，c＜0.

④不等式两边仅能同乘以(或除以)一个符号确定的非零实数．

【做一做2－5】 已知a＞b，则(　　)

A．3a＞3b        B．－2a＞－2b

C．－a＞－b       D．－11a＞－11b

(6)乘法

①证明：∵a＞b＞0，c＞0，

∴ac＞bc.

∵c＞d＞0，b＞0，

∴bc＞bd.

∴ac＞bd.

②这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．

③a＞b＞0，c＜d＜0ac＜bd；a＜b＜0，c＜d＜0ac＞bd.

④该性质不能逆推，如ac＞bda＞b，c＞d.

【做一做2－6】 已知a＞b＞0，则有(　　)

A．3a＜2b  B．3a＝2b

C．3a＞2b  D．3a与2b大小不确定

(7)乘方

　　【做一做2－7】 已知m＞n＞0，则下列不等式不成立的是(　　)

A．m2＞n2        B．m3＞n3

C．m4＞n4        D．m－2＞n－2

(8)开方

　　【做一做2－8】 已知m＞n＞0，则下列不等式不成立的是(　　)

A.＞        B.＞

C.＞        D.＜

答案：1．(1)正　零　负　(2)a＞b　a＝b　a＜b　(4)两个代数式

【做一做1】 B

2．(1)b＜a

【做一做2－1】 C

(2)a＞c

【做一做2－2】 C

(3)同向　b＋c

【做一做2－3】 D

(4)同向

【做一做2－4】 A

(5)不变　改变　ac＞bc　ac＜bc

【做一做2－5】 A

(6)同向

【做一做2－6】 C

(7)正数　同向　an＞bn

【做一做2－7】 D

(8)同向　＞

【做一做2－8】 D

不等式变形应注意的问题

剖析：(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜ca＜c.

(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，有a＞bac2＞bc2；若无c≠0这个条件，则a＞bac2＞bc2就是错误结论(因为当c＝0时，取“＝”)．

(3)“a＞b＞0an＞bn＞0(n∈N，n＞1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，且a＞b＞0”．假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论；假如去掉“b＞0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现32＞(－4)2的错误结论．

(4)以后经常用到“不等式取倒数”的性质：a＞b，ab＞0＜，应在会证明的基础上理解记忆．

题型一  比较大小

【例题1】 比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)x2＋3与3x；

(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

分析：我们知道，a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．

反思：比较两个代数式大小的步骤：

(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

(2)变形：对差进行变形；

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

(4)作出结论．

这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．

题型二  证明不等式

【例题2】 已知a＞b＞0，d＞c＞0，求证：＞.

分析：转化为证明－＞0.

反思：证明不等式成立的策略是转化为比较不等式两边的大小，即作差比较法，只需判断两边差的符号即可．

题型三  易错辨析

【例题3】 已知＞，bc＞ad，求证：ab＞0.

错解：由得＞，

所以＞，所以ab＞0.

因为＞，所以＞，所以－＞0.

所以ab＞0.

错因分析：推理过程中有两次错误：第一，两个同向不等式相乘，忽略了均大于0才可相乘这一条件；第二，由＞得＞时，应满足＞＞0，但本题没有这一条件．

反思：由于同向不等式可以相加，所以就认为同向不等式也可相乘，这样就忽略了相乘的前提：不等式两边都是正数，从而导致错误．

答案：【例题1】 解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3

＝2＋≥＞0，

∴x2＋3＞3x.

(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2

＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)

＝(a－b)2(a＋b)，

∵a＞0，b＞0，且a≠b，

∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.

∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，

即a3＋b3＞a2b＋ab2.

【例题2】 证明：－＝.

∵a＞b＞0，d＞c＞0，

∴ad＞bc，cd＞0，即ad－bc＞0，cd＞0.

∴－＞0，即＞.

【例题3】 正解：由得

所以所以ab＞0.

1设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是(　　)

A．a2＜b2        B．ab2＜a2b

C.       D.

2若a＞b与同时成立，则有(　　)

A．a＞b＞0       B．a＞0＞b

C.       D.＜0

3比较以下两组数的大小．

(1)2＋与4；

(2)与.

4已知f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R，试比较f(x)与g(x)的大小．

5已知c＞a＞b＞0，求证：.

答案：1．C　2.B

3．解：(1)＝.

∵7＞4，∴＞2.

∴＞0.∴＞4.

(2)∵＝，

∴.

∴.

4．解：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.

∵x∈R，∴(x－1)2≥0.

∴(x－1)2＋1＞0.∴f(x)＞g(x)．

5．证明：

＝.

∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，a－b＞0.

∴.∴.