高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.1 不等关系与不等式学案

课    题：基本不等式

学习目的：

1.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题

学习重点：均值不等式定理的应用                  

学习难点：解题中的转化技巧

学习过程：

一、复习引入：(节节清内容1)

1．重要不等式：

如果

2．定理：如果a,b是正数，那么

语言表述： ______________________________________________________

我们称的算术平均数，称的几何平均数

成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数 “当且仅当”的含义是充要条件

3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立

二、讲解新课：(节节清内容2)

1.公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2.

2． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

三、讲解范例：

例1、（1）一段长为Ｌ m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

（2）一个面积为S m2的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的周长最短?

例2   某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积200米2的十字型地域。计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为第平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为第平方米80元。

（1）              设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式；

（2）              当x为何值时S最小，并求出这最小值。

我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案

四、课后作业：

1.(必做)（1）一段长为20 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

（2）一个面积为100m2的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的周长最短?

最小周长为多少？

2.（选做）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).