高中数学3.1 不等关系与不等式教案及反思

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。你能举出一些例子吗？

实例1.某天的天气预报报道，最高气温35℃，最低气温29℃。

实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。

实例3.两点之间线段最短。

实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

推进新课

同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。而且大家已经考虑到本节课的标题《不等关系与不等式》，所举的实例都是反映不等量的关系。

（下面利用电脑投影展示两个实例）

实例5：限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度 v不超过40km/h。

实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。

让学生们边看边思考：生活中有许多的事情的描述可以采用不等的数量关系来描述

过程引导

能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？

什么是不等式呢？

用大屏幕展示一组不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。

思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。

经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。

目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号≤，≥的含义，是或的关系。回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。

此时学生已经迫不及待地想说出自己的观点了。

合作探究

（一）。下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一 一的表示出来，那应该怎么表示呢？

这两位同学的观点是否正确？

老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。”应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。

（二）。问题一：设点 A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点。

请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。

老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？

（下面让学生板演，结合三角形草图来表达）

问题（二）：某种杂志原以每本2。5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0。1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 

是不是还有其他的思路？

为什么可以这样设？

很好，请继续讲。

这位学生回答的很好，表述得很准确。请同学们对两种解法作比较。

问题（三）：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？

假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。请同学们完成书本练习第74页1，2。

课堂小结：1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。

2.数学和我们的生活联系非常密切。

3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。

布置作业：

第75页习题3.1  A组4，5。

29℃≤t≤35℃

x≥0

|AC|+|BC|>|AB|

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

|AB|-|AC|<|BC|.交被减数与减数的位置也可以。

如果用表示速度，则v≤40km/h.

f≥2.5%或p≥2.3%

学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次实际问题中的不等量关系，即可以表示为

也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

过点A作AC⊥平面于点C，则d=|AC|≤|AB|

可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本。销售量变为(8-)万本，则总收入为(8-)x万元。即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-)x≥20.

解法二：可设杂志的单价提高了0.1n元，（n）

我只考虑单价的增量。

那么销售量减少了0.2n万本，单价为（2.5+0.1n）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。

截得600 mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

截得两种钢管的数量都不能为负数。

它们是同时满足条件，应该是且的关系。由实际问题的意义，还应有x,y

要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。

此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。

让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，

下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。老师注意关注学生的思维状况，并且及时的加以指导。

此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识。