必修53.2 一元二次不等式及其解法精练

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这是一份必修53.2 一元二次不等式及其解法精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0⇒x2＋x－2<0⇒－2答案：B
2．不等式eq \f(x＋5,(x－1)2)≥2的解集是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\[\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)，1))∪(1,3] D.eq \b\lc\[\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(－eq \f(1,2)，1))∪(1,3]
解析：eq \f(x＋5,(x－1)2)≥2⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋5≥2(x－1)2,x－1≠0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1.))
∴x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，3)).故选D.
答案：D
3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，
f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B．[－3，－1]
C．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D．[－3，＋∞)
解析：由f(－4)＝f(0)，得函数f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)的对称轴x＝－2＝－eq \f(b,2)，所以b＝4.f(－2)＝0得c＝4.
不等式f(x)≤1等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0时－2≤1，,x≤0时x2＋4x＋4≤1，))
解得x>0或－3≤x≤－1.故选C.
答案：C
4．不等式eq \f(4,x－1)≤x－1的解集是( )
A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
B．[－1,1)∪[3，＋∞)
C．[－1,3]
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：原不等式化为eq \f(x2－2x－3,x－1)≥0，由数轴标根法解得－1≤x<1或x≥3.
答案：B
5．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))成立，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B．a≥－2
C．a≥－eq \f(5,2) D．a≥－3
解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－eq \f(a,2)，若－eq \f(a,2)≥eq \f(1,2)，即a≤－1时，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上是减函数，应有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))≥0⇒－eq \f(5,2)≤a≤－1
若－eq \f(a,2)≤0，即a≥0时，则f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0
若0≤－eq \f(a,2)≤eq \f(1,2)，即－1≤a≤0，则应有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝eq \f(a2,4)－eq \f(a2,2)＋1＝1－eq \f(a2,4)≥0恒成立，故－1≤a≤0.综上，有－eq \f(5,2)≤a.
答案：C
评析：考查一元二次不等式与函数相结合，利用函数的性质解不等式问题．
6．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－12
C．b<－1或b>2 D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝eq \f(a,2)＝1，故a＝2.
又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)>0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0恒成立，
解得b<－1或b>2.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.
答案：2
8．(2009·青岛市模拟)已知不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，则a2＋b2－2b的取值范围是________．
解析：∵不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，
∴a>0，b>0，且Δ＝b2－4a2≤0，
∴b2≤4a2.
∴a2＋b2－2b≥eq \f(b2,4)＋b2－2b＝eq \f(5,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(4,5)))2－eq \f(4,5)≥－eq \f(4,5).
∴a2＋b2－2b的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，＋∞))
9．(精选考题·西城模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．
解析：由题意知a<0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，又a<0，∴f(x)max＝eq \f(8a2－(－3a)2,4a)＝eq \f(－a2,4a)＝eq \f(－a,4)<1，∴－4答案：(－4,0)
10．(2009·石家庄质检一)若不等式eq \f(x－1,x＋m)＋m<0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为________．
解析：由eq \f(x－1,x＋m)＋m<0，得eq \f((1＋m)x＋m2－1,x＋m)<0，即当1＋m<0时有(x＋m－1)(x＋m)>0，其大根为1－m，小根为－m.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝4,－m＝3))，推得m＝－3，故填：－3.
答案：－3
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若函数f(x)有最大值eq \f(17,8)，求实数a的值；
(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．
解：(1)a≥0时不合题意，f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2a)))2－eq \f(1＋4a2,4a)，
当a<0时，f(x)有最大值，且－eq \f(1＋4a2,4a)＝eq \f(17,8)，
解得a＝－2或a＝－eq \f(1,8).
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，
(x－1)(ax＋a＋1)>0，
①当a＝0时，解集为{x|x>1}；
②当a>0时，(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1＋\f(1,a)))>0，
解集为{x|x>1或x<－1－eq \f(1,a)}；
③当a＝－eq \f(1,2)时，(x－1)2<0，解集为∅；
④当－eq \f(1,2)解集为{x|1⑤当a<－eq \f(1,2)时，(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1＋\f(1,a)))<0，
解集为{x|－1－eq \f(1,a)12．解关于x的不等式：eq \f(ax－1,x－a)>0.
解：当a＝0时，不等式化为－eq \f(1,x)>0，解得x<0；
若a≠0，则原不等式可化为eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a))),x－a)>0.
当0eq \f(1,a)；
当a＝1时，不等式化为eq \f(x－1,x－1)>0，解得x∈R且x≠1；
当a>1时，a>eq \f(1,a)，解得xa；
若a<0，则不等式可化为eq \f(x－\f(1,a),x－a)<0.
当a<－1时，a当a＝－1时，不等式可化为eq \f(x＋1,x＋1)<0，其解集为∅；
当－1eq \f(1,a)，解得eq \f(1,a)综上，当a<－1时，不等式解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|a当a＝－1时，不等式解集为∅；
当－1当a＝0时，不等式解集为{x|x<0}；
当0\f(1,a)))；
当a＝1时，不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；
当a>1时，不等式解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<\f(1,a)或x>a)).
13．关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2>0，,2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，))的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解：原不等式组等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2或x<－1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,2)))(x＋k)<0.))
由题意知－k>－eq \f(5,2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2或x<－1，,－\f(5,2)又知解集内仅有一整数－2，所以－2<－k≤3，
即－3≤k<2.
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