高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式复习练习题

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                     9.3基本不等式【考纲要求】　  1、了解基本不等式的证明过程.　　2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【基础知识】1、基本不等式(1)，     (2)     变形公式：基本不等式(2)常用来求最小值，其变形公式常用来求最大值；求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。2、使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件。3、使用基本不等式求最值，如果等号成立的条件不成立，就说明不能取到该最值，必须寻找另外的方法（如：函数的单调性和数形结合等）求最值。【例题精讲】例1  已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.证明：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋3＝＋＋＋3.∵a>0，b>0，c>0，∴＋＋＋3≥9. 例2   某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？解：由题意知f(n)＝50n－－72.＝－2n2＋40n－72(1)由f(n)>0，即－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.由n∈N*知，从经三年开始盈利．(2)方案①：年平均纯利润＝40－2≤16，当且仅当n＝6时等号成立．故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n＝6.方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128.故方案②共获利128＋16＝144(万元)比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．       9.3基本不等式强化训练【基础精练】1.设x、y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为                (　　)A．4        B．4          C．9      D．162．设a>0，b>0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为  (　　)A．8          B．4           C．1          D.3．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为  (　　)A．8       B．6       C．4      D．24．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f(x)的解析式是________．5.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则                                     (　　)A．ab≤       B．ab≥       C．a2＋b2≥2        D．a2＋b2≤36．设a、b是正实数， 以下不等式①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2恒成立的序号为                                                    (　　)A．①③         B．①④         C．②③        D．②④7．已知a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.   8.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0<t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为(　　)A．18         B．27          C．20        D．169．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．  10.若a是－b与＋b的等比中项，则的最大值为            (　　)高考学习网XK]A.          B．1              C.              D.11．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋(x∈(0，))取得最小值时x的值为(　　)A．1          B.           C．2           D.12．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．     【拓展提高】1．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8 cm的空白，左右各留5 cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？     2.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【基础精练参考答案】1.D【解析】：由＋＝1可得xy＝8＋x＋y.∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，可解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.2.B【解析】：∵是3a与3b的等比中项，∴()2＝3a·3b.即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.此时＋＝＋＝2＋(＋)≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)．  3.C【解析】：(x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，当且仅当a·＝等号成立，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0，得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.4. f(x)＝(2－2) x＋1＋1【解析】：函数f(x)＝ax＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋.当且仅当b＝a时取等号，将b＝a代入a＋b＝1得a＝2－2，故f(x)＝(2－2)x＋1＋1.5.C【解析】：法一：由≥得ab≤()2＝1，又a2＋b2≥2ab⇒2(a2＋b2)≥(a＋b)2⇒a2＋b2≥2.法二：(特值法)取a＝0，b＝2满足a＋b＝2，代入选项可排除B、D.又取a＝b＝1满足a＋b＝2.但ab＝1，可排除A.6.D【解析】：∵a、b是正实数，∴①a＋b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a＝b时      取等号，∴①不恒成立；②a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b恒成立；③a2＋b2－4ab＋3b2＝(a－2b)2≥0，当a＝2b时，取等号，∴③不恒成立；④ab＋≥2 ＝2 >2恒成立．7.证明：∵a、b、c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．8.A【解析】：平均销售量y＝＝＝t＋＋10≥18.当且仅当t＝，即t＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.9.5【解析】：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1＝2＝，得k1＝20，∴y1＝，y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，∴y1＋y2＝＋≥2 ＝8，当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．10.B【解析】：∵a是－b与＋b的等比中项，∴a2＝2－b2⇒a2＋b2＝2.根据基本不等式知≤≤ ＝1.即的最大值为1.11.B【解析】：由＋≥得，f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝时取等号，即当x＝时f(x)取得最小值25.12. 【解析】：因为x>a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥，即a的最小值为.13.【解析】：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296×(10＋)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元．【拓展提高参考答案】1．【解析】：设画面的高为x cm，宽为λx cm，则λx2＝4840，设纸张面积为S，则有S＝ (x＋16)(λx＋10)＝λx2＋(16λ＋10)x＋160＝5000＋44≥6760，当且仅当8＝时，即λ＝时，S取最小值，此时，高x＝＝88 cm，宽λx＝×88＝55 cm.如果λ∈，则上述等号不能成立．现证函数S(λ)在上单调递增．设≤λ1<λ2≤，则S(λ1)－S(λ2)＝44＝44，因为≥>⇒8－>0，又－<0，所以S(λ1)－S(λ2)<0，故S(λ)在上单调递增，因此对λ∈，当λ＝时，S(λ)取得最小值．