高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式巩固练习

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课时作业(三十七)B　[第37讲　基本不等式][时间：35分钟　分值：80分]1．已知a，b∈R，下列不等式中不正确的是(　　)A．a2＋b2≥2ab  B.≥  C．a2＋4≥4a  D.＋b2≥42．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0  B．最小值为0C．最大值为－4  D．最小值为－43．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是(　　)A．9  B．25  C．50  D．1624．已知0<x<，则x(1－3x)取最大值时x的值是________．5．[2011·太原重点中学联考] 若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)A.＋有最大值4  B．ab有最小值C.＋有最大值  D．a2＋b2有最小值6．[2010·重庆卷]  已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3  B．4  C.  D.7．若logx＋logy＝8，则3x＋2y的最小值为(　　)A．4  B．8   C．4  D．88．设f(x)＝|2－x2|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是(　　)A．(0,2)  B．(0,2)   C．(0,4)  D．(0，)9．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．10．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．11．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．12．(13分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋的最小值，指出取最小值时x的值．  13．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．图K37－1课时作业(三十七)B【基础热身】1．B　[解析] 对于基本不等式成立的前提条件是a、b必须都非负．2．C　[解析] ∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－－2≤－2·－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.3．C　[解析] 5x＋5y≥2＝2＝50，当且仅当x＝y＝2时，5x＋5y得最小值是50.4.　[解析] 因为0<x<，所以0<1－3x<1，所以x(1－3x)＝[3x(1－3x)]≤·2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，x(1－3x)取得最大值．【能力提升】5．C　[解析] 由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤＝，即＋≤，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．6．B　[解析] 依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，∴x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.7．D　[解析] 由logx＋logy＝8，得logxy＝8，所以xy＝16，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥2＝8，当且仅当3x＝2y，xy＝16时，取得最小值8.故选D.8．B　[解析] 若0＜a＜b＜，则有f(a)＞f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾；若＜a＜b，则有f(a)＜f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾，故必有0＜a＜＜b，因此由|2－a2|＝|2－b2|得2－a2＝b2－2，∴a2＋b2＝4，故≤＝(a＝b时取等号)，∴0＜a＋b＜2.9.　[解析] 由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，则2＋1＝4，解得p＝.10．18　[解析] 由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)，或者t≥3，故xy的最小值为18.11．－4　[解析] 由＋＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.12．[解答] (1)证明：(x＋y)＝a2＋b2＋a2＋b2≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，故＋≥，当且仅当a2＝b2，即＝时上式取等号．(2)由(1)得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，即f(x)min＝25.【难点突破】13．[解答] (1)在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°⇒y2＝x2＋AE2－x·AE.①又S△ADE＝S△ABC⇒＝x·AE·sin60°⇒x·AE＝2.②将②代入①得y2＝x2＋2－2(y＞0)，∴y＝(1≤x≤2)．(2)如果DE是水管y＝≥＝，当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.如果DE是参观线路，记f(x)＝x2＋，可知函数f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，故f(x)max＝f(1)＝f(2)＝5，∴ymax＝＝.即DE为AB边中线或AC边中线时，DE最长．