高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式学案

3.4   基本不等式:     (1)

学习目标：1.创设代数与几何背景,用数形结合的思想理解基本不等式；

            2.从不同角度探索基本不等式的证明过程;； 

            3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式的常用思路.

一、新课引入

探究： 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一写相等关系或不等关系吗？

问题(1)：正方形的面积与四个直角三角形的面积之和有什么关系？你能证明这个关系吗?

问题(2) ：正方形的面积与四个直角三角形的面积之和什么情况下相等？（或什么情况下取等号）

结论：一般地，对于任意实数，都有                                         .

问题（3）：当时，是否可以用代替不等式中的？代替后是：  

                   ，你能给出证明吗？

我们常把叫做正数的         ，把      叫做正数的几何平均数.

探究：如图，是圆的直径，点是上的一点，过点作垂直于的弦连接你能利用这个图形，得出不等式的几何解释吗？

总结：基本不等式使用应注意：                                   

二、例题：

例1. (1) 把36写成两个正数的积,当这           (2) 把18写成两个正数的和,当这

两个正数取什么值时,它们的和最小?         两个正数取什么值时,它们的积最大?

     例2. (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？

(2)一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？

变式：一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

 例3. 某工厂要建造一个长方体形无盖 水池，其容积为，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

变式：做一个体积为，高为的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？

作业：

1.，当取什么值，的值最小？最小是多少？

2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？

3.已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？

4.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

5.已知，求证：.

6．用 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

7.已知都是正数，求证：.

8. 已知都是正数，求证：