高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案

第2课时

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学习要求

1. 理解最值定理的使用条件：

一正二定三相等．

2. 运用基本不等式求解函数最值问题．

【课堂互动】

自学评价

１．              最值定理：

若x、y都是正数，

(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值　　　　　．.

(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值　　　　　．

２．最值定理中隐含三个条件：　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　．

【精典范例】

例1．(1).已知函数y=x+(x>－2), 求此函数的最小值.

(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;

(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;

(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求的最小值.

【解】

例2. 错在哪里?

（１）求y=(x∈R)的最小值.

解∵y=

∴ y的最小值为2 .

.（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求

　的最小值．

法一：由１＝得

所以．

所以原式最小值为８．

法二：由（当且仅当x=y时等号成立）．于是有得x=y=0.2．所以的最小值为5+5=10.

思维点拔：

１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．

２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。

追踪训练一

1. 求函数y=4x2+的最小值；
2. 已知x<0 , 求y=的最大值；
3. 已知x , y∈R+, 且+=1 , 求x+y的最小值;
4. 已知x>-2 , 求y=的最大值；
5. 已知x>1 ,0<y<1 求logyx+logxy的取值范围；

【选修延伸】

利用函数单调性求函数最值.

例3:求函数的最小值.

思维点拔：

利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.

追踪训练二

求函数的最小值.