高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式集体备课课件ppt

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式集体备课课件ppt，共16页。PPT课件主要包含了新课引入，ICM2002会标，证明推导1，证明推导2，证明推导3，证明推导4，结论推广，结论举例，新课讲解，再探索等内容，欢迎下载使用。
结论： 如果a、b∈R,那么 a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)
以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。
如果a、b∈R,那么有 ( a-b ) ²≥0 ( 1 )
把(1)式左边展开，得 a ² -2ab+b ² ≥ 0 ∴ a²+b ² ≥2ab ( 2 )
(2)式中取等号成立的充要条件是什么？
均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.
均值不等式的代数解释为: 两个正数的等差中项不小它们的等比中项.
两个不等式的适用范围不同
如果a1，a2，…，an > 0 ，且 n>1，那么 (a1+a2+···+an ) / n 叫做这n个正数的算术平均数 ，
结论：n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
1. 如果a、b∈R,那么a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)
如果a、b、c >0,那么a³+b³+c³ ≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
推论 如果a、b >0,那么(a+b)/2 ≥ (当且仅当a=b时取“=”号)
推论 如果a、b、c >0,那么(a+b+c)/3 ≥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)
其中当且仅当a＝b时取等号.
由a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式(2)，有
a ² +b ² ≥2ab;
b ² +c ² ≥2bc;
c ² +a ² ≥2ca.
把以上三式叠加，得 a ² +b ² +c ² ≥ab+bc+ca （a、b、c∈R） ( 3 ) (当且仅当a=b=c时取“=”号)
从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加.
证明： a ² +b ² +c ² ≥ab+bc+ca （a、b、c∈R ） (当且仅当a=b=c时取“=”号)
　由于 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²), 启示我们把公式a²+b²≥2ab变成 a²-ab+b²≥ab, 两边同乘以a +b，为了得到同向不等式，这里要求a、b>0, 得到 a³+b³≥a²b+ab²。 ( 4 )
结论 如果a、b、c＞0,那么a³+b³+c³ ≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
由公式(3) 的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c , c、a 迭代(4)式，并应用公式(2)，得 2(a³+b³+c³)≥a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²) ≥a ·2bc+b ·2ca+c ·2ab=6abc
∴ a³+b³+c³≥3abc ( 5 )(当且仅当a=b=c时取“=”号）
证明 如果a、b、c＞0,那么a³+b³+c³ ≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
3. 如果a、b、c＞0,那么a³+b³+c³ ≥3abc (当且仅当a=b=c时取“=”号)
5.n个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
3种情况，5个结论 ：