高中数学人教版新课标A必修41.1 任意角和弧度制教学设计

弧度制学案

网络图

重点难点

重点：弧度的意义及正确地进行弧度与角度的换算。

难点：弧度的概念及其与角度的关系。

关键：弄懂1弧度的角的意义。

学习要求：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集之间可建立一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。

本节须注意：1．掌握角度制与弧度制间换算的实质：180°＝π（弧度）。

2．熟练掌握一些特殊角的弧度数，如  等。

3．弧长公式化简为L＝｜α｜·R（α是圆心角的弧度数）。

4．同一个式子中，角度、弧度两种制度不能混用。

知识点讲解

一、角度制

初中学过角度制，它是一种重要的角度度量制度。规定周角的 为１度的角，记做1°这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

二、弧度制

定义

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记做1rad。

定义的基础

根据圆心角定理，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数。因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准。

当角α的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。

三、弧度数

如图（1）中， 的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，即 。

在图（2）中，圆心角∠AOC所对的 的长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是 。

如果圆心角所对的弧长l＝2πr（即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是 。

如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l＝4πr，那么这个角的弧度数的绝对值是 ，即这个角的弧度数是－4π。

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。

角α的弧度数的绝对值（其中l是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r是圆的半径）。

四、角度与弧度之间的互化

把角度换成弧度：

把弧度换成角度：

五、须记住的特殊角的弧度数

六、角度制与弧度制的比较

弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度

1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小。

不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值。

用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数。如sin2是指sin（2弧度），π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去。

用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如 弧度，不必写成45°≈0.785弧度。

弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法。弧度制与角度制相比有一定的优点，其一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下公式简单，运用起来简单。

用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数相同，对于其它非零角度，由于单位不同，量数也就不同了。

七、角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：

每一个角都有唯一的一个实数（例如这个角的弧度数或度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（例如弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应。

八、弧度制下的弧长公式及扇形面积公式

弧长公式：

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积， 。

扇形面积公式：

扇形面积等于弧长与半径的积的一半， 。

在应用上述公式时，一定要注意α是圆心角的弧度数，若是度数一定先化成弧度数，才能代入公式。

九、须注意的一个问题

在今后表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，比如α＝2kπ＋30°（k∈Z）， 都是不正确的。

例题1：下列诸命题中，假命题是（　　）

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的

C．根据弧度的定义，180°一定等于 弧度

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关

分析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题。

其它A、B、C均为真命题。

∴　应选D。

将112°30′化为弧度；（2）将 化为度。

（1）∵　 ，

∴　112°30′＝ 。

（2）∵　 ，

∴　 ＝－75°。

小结：弧度与角度互化，要牢记

解答下列各题

(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数。

(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积。

(3)已知一扇形的周长40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

（1）设扇形圆心角的弧度数为 ，弧长为l，半径为r，

依题意有

①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4。

当r＝1时，l＝8（cm）时， 舍去。

当r＝4时，l＝2（cm）时， 。

（2）设扇形弧长为l　　∵　72°＝ ，

∴　 。

∴　 。

（3）设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，

∴　l＝40－2r，

∴　 。

∴　当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2，这时

。

小结：以上三个题是弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用，公式简明，运算非常简捷。

若角α的终边与角 的终边关于直线y＝x对称，且 ，则α＝_______。

如果角 的终边OA与OB关于直线y＝x对称，那么以OB为终边且在0到 之间的角为 。

设角 的终边为OA，OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边的角的集合为 。

∵ ，∴ ，

∴ 。

∴ k∈Z，∴ k＝－2，－1,0，1。

∴ 。

∴ 应填： 。

（附图，）

已知集合 ， ，则 ( )

A．M＝P　　　B． 　　　C． 　　D．M∩P＝

首先研究集合 ，

我们知道角 ，k∈Z，它的终边落在坐标轴上，

∴ 角 ，k∈Z，它的终边落在直线y＝±x上。

下面研究集合

1)当k＝4n（n∈Z）时，

，它的终边落在y轴上；

2)当k＝4n＋1（n∈Z）时，

，它的终边落在y＝－x上；

3)当k＝4n＋2（n∈Z）时，

，它的终边落在x轴上；

4)当k＝4n＋3（n∈Z）时，

，它的终边落在y＝x上。

综合上面两种情况可得 。

∴应选C。

小结：在解题的过程中，根据问题的特点及解题的需要，适时地进行逻辑划分、分类讨论，是解好这类问题的关键一环。