数学必修41.1 任意角和弧度制教案及反思

第1节 角的概念的推广教案

知识网络图

学习重难点：

重点：

任意角的概念，象限角的概念。

难点：

把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

关键：

运用数形结合的思想来认识角的几何表示和终边相同的角的集合。

学习要求：

理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；能在0°～360°范围内找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合。

本节内容，虽然在历届高考中没有单独命题，但本节内容却常常与其它知识相结合出现在高考试题中，另外本节内容十分重要，它是学好后续章节的基础，必须认真学好

1．象限角定义的前提

角的顶点为原点，角的始边与x轴正半轴重合。

2．与角α终边相同的角的表示式

β＝k·360°＋α，k∈Z，要注意k、α的取值范围；任意角的表示形式不惟一，要根据题意中角的范围，具体处理。

一、角的概念推广的必要性

过去我们学习了0°～360°范围的角，但在生活、生产和科学实验的实践中还会遇到其它角。如在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”（即“转体1080°”）、“转体三周半”（即“转体1260°”）这样的解说。还如我们骑的自行车，自行车的车轮按逆时针方向旋转一周的过程中，其中一根辐条转动了0°～360°的所有角；在车轮继续转第二周的过程中，那根辐条就转过了360°～720°的所有角。再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘，它们按照不同方向旋转所成的角都不仅是0°～360°范围内的角，……。为了研究它们的运动规律，我们有必要将角的概念进行推广。

二、任意角的概念

角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。旋转开始时的射线OA叫做角α的始边；旋转终止时的射线OB叫做角α的终边；射线的端点O叫做角α的顶点。如图。

掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边。角可以是任意大小的。

任意角包括正角、负角和零角。

三、正角、负角、零角

按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合

正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动。

四、象限角、轴线角

象限角的定义

角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角，并且称它为象限角。这里强调以“角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴”为前提，否则就不能从终边的位置来判断某角属于第几象限。

比如60°，420°，－300°都是第一象限角；120°，480°，－240°都是第二象限角；210°，570°，－150°都是第三象限角；300°，660°，－60°都是第四象限角。

如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴非负半轴重合，则不能判断角在哪一个象限，也就是它不能称做象限角

象限角的集合

第一象限角集合为 。

第二象限角集合为 。

第三象限角集合为 。

第四象限角集合为 。

象限角的集合的表示形式并不唯一，也还有其它的表示形式。

轴线角的定义

角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，如果角的终边在坐标轴上，就称这个角为轴线角，它不属于任一象限。

比如0°，90°，180°，270°，360°，－90°，－180°，－270°，－360°，－1080°等都是轴线角。

轴线角的集合

终边落在x轴的非负半轴上，角的集合为 。

终边落在x轴的非正半轴上，角的集合为 。

终边落在x轴上，角的集合为 。

终边落在y轴的非负半轴上，角的集合为 。

终边落在y轴的非正半轴上，角的集合为 。

终边落在y轴上，角的集合为 。

五、终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合Ｓ＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Ｚ｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

这里应明确：

k是整数；

α是任意角；

k·360°与α之间是“＋”号。如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°）（k∈Ｚ）；

终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相等；

终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

六、准确区分“0°～90°间的角”、“第一象限的角”、“锐角”和“小于90°的角”

要正确理解“0°～90°间的角”、“第一象限的角”、“锐角”和“小于90°的角”，这里应明确“0°～90°间的角”指的是一个前闭后开的区间0°≤θ＜90°，后面三种角的集合可分别表示为{θ|k·360°＜θ＜k·360°＋90°}，{θ|0°＜θ＜90°}，{θ|θ＜90°}。

下列各命题正确的是（　　）

A．终边相同的角一定相等　　B．第一象限角都是锐角

C．锐角都是第一象限角　　　D．小于90°的角都是锐角

分析1：可根据各种角的定义，利用排除法予以解答；

解答：对于A，－60°和300°是终边相同的角，它们并不相等，∴应排除A。

对于B，390°是第一象限角，可它不是锐角，∴应排除B。

对于D，－60°是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除D。

综上，∴　应选C。

小结：要想否定一个命题，只须举出一个反例即可，本解法就是恰当地举出反例，将A、B、D三个选项予以排除，从而确定选项C。

分析2：可根据锐角和第一象限角的定义，利用定义直接判断。

解答：∵　锐角的集合是 。　　　　　　　　　　　 　　①

第一象限角的集合是 。　　　②

对于②当k＝0时，②与①相同。

∴ 锐角是第一象限角。

∴ 应选C。

例题若90°＜β＜α＜135°，则α－β的范围是_______，α＋β的范围是_______。

解答：∵ 90°＜β＜α＜135°，

则有　90°＜α＜135°，　　　　　①

90°＜β＜135°，　　　　　②

0°＜α－β，　　　　　　　③

－135°＜－β＜－90°。　　④

由①、④、③得　　0°＜α－β＜45°，

由①、②得　　180°＜α＋β＜270°。

小结：在给定角的范围的条件下，求两角和、差，可利用不等式性质、在正角、零角、负角范围内施行。

例题已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在（　　）

A．x轴的非负半轴上　　　B．y轴的非负半轴上

C．x轴的非正半轴上　　　D．y轴的非正半轴上

分析：将角α、β按终边相同角公式写出，然后作差α－β，对其研究即可作出判断。

解答：∵　角α、β终边相同，

∴　α＝k·360°＋β，k∈Z。

作差α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z，

∴　α－β的终边在x轴的非负半轴上。

∴　应选A。

例题  若α是第一象限角，求 是第几象限角。

解答∵　α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，

∴　 ，k∈Z。

1)当k＝3n时，则有 ，n∈Z

∴　 是第一象限角。

2)当k＝3n＋1时， ，n∈Z

∴ 为第二象限角。

3)当k＝3n＋2时， ，n∈Z

∴ 为第三象限角。

综上，知 为第一、二、三象限角

小结：将k分为3n，3n＋1，3n＋2三种情况分别判断之。

例题  若将时钟拨慢5分钟，则分针转了_______度；时针转了_______度。

解答：将时钟拨慢了5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角。

这时，分针转过的角度是： ；

时针转过的角度是： 。

∴ 应填：30°；2.5°