初中数学人教版九年级下册27.3 位似随堂练习题

这是一份初中数学人教版九年级下册27.3 位似随堂练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
27.3　位　似
第1课时　位似图形
一、选择题
1.下列判断中,正确的是( )
A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形
C.全等的图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等的图形
2.下列各选项中的两个图形不是位似图形的是( )

3.【2021·温州】如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．15

第3题图 第4题图 第5题图
4.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,点O为位似中心.若OB∶OB'＝2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为( )
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25
5.【2021山东菏泽牡丹区三模】如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'.下列说法错误的是(　　)
A.△ABC∽△A'B'C' B.点C,O,C'在同一条直线上
C.AO∶AA'=1∶2 D.AB∥A'B'
6.【2021重庆南开中学月考】如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是O,若OA∶OE=1∶3,且四边形ABCD的周长为4,则四边形EFGH的周长为(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24

第6题图 第9题图 第10题图
7.如图，下列位似图形中，面积比是1∶9的是 (　　)

OA＝OA′
OA＝AA′
OA＝2AA′
OA＝AA′
A
B
C
D
8.如图，△ABO与△A′B′O是位似图形，其中AB∥A′B′，则A′B′的长y与AB的长x之间函数关系的图象大致是( )

9.如图,矩形EFGO的两边在坐标轴上,O为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一点为位似中心,作位似图形ABCD,且点B,F的坐标分别为(－4,4),(2,1),则位似中心的坐标为( )
A.(0,3) B.(0,2.5) C.(0,2) D.(0,1.5)
10.图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是( )
A.点M B.点N C.点O D.点P
11.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,点O为位似中心.若OA∶AA'＝1∶2,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为( )
A.1∶4 B.1∶2 C.1∶9 D.1∶3

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12.如图,点O是等边△PQR的中心,P',Q',R'分别是OP,OQ,OR的中点,则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形,此时△P'Q'R'与△PQR的相似比、位似中心分别是( )
A.2,点P B.12,点P C.2,点O D.12,点O
二、填空题
13.如图,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.已知四边形EFGH的面积是3,则四边形ABCD的面积是　 　. 
14.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
15.如图,已知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的是　 　.(填序号) 
①△ABC与△DEF是位似图形;
②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2;
④△ABC与△DEF的面积之比为4∶1.

第15题图 第16题图 第17题图
16.如图,△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形.若OA=3AA1,S△ABC=36,则S△A1B1C1=　　　　. 
17.如图,正六边形OABCDE与正六边形OA'B'C'D'E'是关于原点O的位似图形,相似比为3∶2,已知点C'(6,0),则正六边形OABCDE的周长为　 　. 
18.在△ABC中,AB＝BC,∠B＝90°,将△ABC沿BC方向平移,得到△A'CC',以点C为位似中心,作△DEC与△ABC位似,点D的位似点是点A,且相似比为1∶2.若F为CC'的中点,连接DF,A'F,则A'FDF的值为　 　. 
三、解答题
19.如图,在10×10的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形AB'C'D',使它与四边形ABCD位似,且相似比为2.
(1)在图中画出四边形AB'C'D';
(2)填空:连接AC',则∠AC'D'＝　 　. 

20.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O,请确定点O的位置,如果OC＝3.6 cm,OF＝2.4 cm,求它们的相似比.


21.【2021河北唐山期中】如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP.
(1)求证:△ADP∽△BCP.
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形.
(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长.



22.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则△ABC与△FGC是位似三角形吗?若是,请说出位似中心,并求出相似比;若不是,请说明理由.



23.如图所示,由位似的正△A1B1C1,正△A2B2C2,正△A3B3C3,……,正△AnBnCn组成的相似图形,其中第一个△A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,A3是OA2的中点,……,An是OAn－1的中点,顶点B2,B3,…,Bn,C2,C3,…,Cn都在B1C1边上.
(1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心;
(2)求出第n个三角形△AnBnCn(n≥2)的周长.




24.【2020·昆明八中期末】已知正三角形ABC的边长为3＋.
(1)如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．



参考答案
一、选择题
1.下列判断中,正确的是( B )
A.相似图形一定是位似图形 B.位似图形一定是相似图形
C.全等的图形一定是位似图形 D.位似图形一定是全等的图形
2.下列各选项中的两个图形不是位似图形的是( D )

3.【2021·温州】如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为(　B　)
A．8 B．9 C．10 D．15

第3题图 第4题图 第5题图
4.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,点O为位似中心.若OB∶OB'＝2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为( C )
A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.4∶25
5.【2021山东菏泽牡丹区三模】如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C'.下列说法错误的是(　　)
A.△ABC∽△A'B'C' B.点C,O,C'在同一条直线上
C.AO∶AA'=1∶2 D.AB∥A'B'
【答案】C
【解析】∵以点O为位似中心,把△ABC放大为原来的2倍得到△A'B'C',∴OA∶OA'=1∶2,∴AO∶AA'=1∶3,故C错误.
6.【2021重庆南开中学月考】如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是O,若OA∶OE=1∶3,且四边形ABCD的周长为4,则四边形EFGH的周长为(　　)
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】A
【解析】因为四边形ABCD与四边形EFGH位似,OA∶OE=1∶3,所以四边形ABCD的周长∶四边形EFGH的周长=1∶3.因为四边形ABCD的周长为4,所以四边形EFGH的周长为12.

第6题图 第9题图 第10题图
7.如图，下列位似图形中，面积比是1∶9的是 (　D　)

OA＝OA′
OA＝AA′
OA＝2AA′
OA＝AA′
A
B
C
D
8.如图，△ABO与△A′B′O是位似图形，其中AB∥A′B′，则A′B′的长y与AB的长x之间函数关系的图象大致是( C )

9.如图,矩形EFGO的两边在坐标轴上,O为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一点为位似中心,作位似图形ABCD,且点B,F的坐标分别为(－4,4),(2,1),则位似中心的坐标为( C )
A.(0,3) B.(0,2.5) C.(0,2) D.(0,1.5)
10.图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是( D )
A.点M B.点N C.点O D.点P
11.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似,点O为位似中心.若OA∶AA'＝1∶2,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为( C )
A.1∶4 B.1∶2 C.1∶9 D.1∶3

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12.如图,点O是等边△PQR的中心,P',Q',R'分别是OP,OQ,OR的中点,则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形,此时△P'Q'R'与△PQR的相似比、位似中心分别是( D )
A.2,点P B.12,点P C.2,点O D.12,点O
二、填空题
13.如图,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.已知四边形EFGH的面积是3,则四边形ABCD的面积是　12　. 
14.【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
【答案】5
15.如图,已知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法正确的是　 　.(填序号) 
①△ABC与△DEF是位似图形;
②△ABC与△DEF是相似图形;
③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2;
④△ABC与△DEF的面积之比为4∶1.
【答案】①②④

第15题图 第16题图 第17题图
16.如图,△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形.若OA=3AA1,S△ABC=36,则S△A1B1C1=　　　　. 
【答案】64　
【解析】∵△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形,∴△ABC∽△A1B1C1.∵OA=3AA1,∴△ABC与△A1B1C1的相似比为
OA∶OA1=3∶4,∴S△ABCS△A1B1C1=(OAOA1)2=(34)2=916.∵S△ABC=36,∴S△A1B1C1=64.
17.如图,正六边形OABCDE与正六边形OA'B'C'D'E'是关于原点O的位似图形,相似比为3∶2,已知点C'(6,0),则正六边形OABCDE的周长为　27　. 
18.在△ABC中,AB＝BC,∠B＝90°,将△ABC沿BC方向平移,得到△A'CC',以点C为位似中心,作△DEC与△ABC位似,点D的位似点是点A,且相似比为1∶2.若F为CC'的中点,连接DF,A'F,则A'FDF的值为　1或5　. 
提示:设AB＝BC＝2x,分点D在AC上和点D在AC的延长线上两种情况进行讨论.
三、解答题
19.如图,在10×10的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形AB'C'D',使它与四边形ABCD位似,且相似比为2.
(1)在图中画出四边形AB'C'D';
(2)填空:连接AC',则∠AC'D'＝　45°　. 

解:(1)图略.
20.如图,△DEF是△ABC经过位似变换得到的,位似中心是点O,请确定点O的位置,如果OC＝3.6 cm,OF＝2.4 cm,求它们的相似比.

解:连接AD,CF交于点O,则点O即为所求,图略.
∵OC＝3.6 cm,OF＝2.4 cm,
∴OC∶OF＝3∶2,
∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2.
21.【2021河北唐山期中】如图,BD,AC相交于点P,连接AB,BC,CD,DA,∠DAP=∠CBP.
(1)求证:△ADP∽△BCP.
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形.
(3)若AB=8,CD=4,DP=3,求AP的长.

【解析】(1)∵∠DAP=∠CBP,∠DPA=∠CPB,
∴△ADP∽△BCP.
(2)△ADP与△BCP不是位似图形.
(3)由(1)知△ADP∽△BCP,∴APBP=DPCP,
又∠APB=∠CPD,∴△APB∽△DPC,
∴APDP=ABCD,即AP3=84,∴AP=6.
22.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则△ABC与△FGC是位似三角形吗?若是,请说出位似中心,并求出相似比;若不是,请说明理由.

解:△ABC与△FGC是位似三角形,点C是位似中心,相似比为3∶1.
理由:∵在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BC,∴EOAB＝EOCD＝OFFC＝12.
由题意可得EO∥FG,则EGGC＝OFFC＝12,
∴EGEC＝FGCD＝FGAB＝13,即△ABC与△FGC的相似比为3∶1.
23.如图所示,由位似的正△A1B1C1,正△A2B2C2,正△A3B3C3,……,正△AnBnCn组成的相似图形,其中第一个△A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,A3是OA2的中点,……,An是OAn－1的中点,顶点B2,B3,…,Bn,C2,C3,…,Cn都在B1C1边上.
(1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心;
(2)求出第n个三角形△AnBnCn(n≥2)的周长.

解:(1)∵△A1B1C1的边长为1,O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,
∴正△A2B2C2的边长为12,正△A3B3C3的 边长为122,正△A10B10C10的边长为129,正△A7B7C7的边长为126,
∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝129126＝18,它们的位似中心为点O.
(2)∵第n个三角形△AnBnCn(n≥2)的边长为12n－1,
∴第n个三角形△AnBnCn(n≥2)的周长为32n－1.
24.【2020·昆明八中期末】已知正三角形ABC的边长为3＋.
(1)如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；

解：如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
解：设正方形E′F′P′N′的边长为x.
∵△ABC为正三角形，∴AE′＝BF′＝x.
∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，∴x＋x＋x＝3＋，
∴x＝，即x＝3－3.
∴正方形E′F′P′N′的边长为3－3.
(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
解：这两个正方形面积和的最大值是99－54，最小值是.理由如下：如图②，连结NE，EP，PN，则∠NEP＝90°.
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m，n(m≥n)，它们的面积和为S，则NE＝m，PE＝n，
∴PN2＝NE2＋PE2＝2m2＋2n2＝2(m2＋n2)，
∴S＝m2＋n2＝PN2.
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND.
在Rt△PGN中，PN2＝PG2＋GN2＝(m＋n)2＋(m－n)2.
∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，
易得m＋m＋n＋n＝＋3，化简得m＋n＝3.
∴S＝[32＋(m－n)2]＝＋(m－n)2.　
①当(m－n)2＝0时，即m＝n时，S最小，∴S最小＝；
②当(m－n)2最大时，S最大，即当m取最大值且n取最小值时，S最大．∵m＋n＝3，由(2)知，m最大＝3－3，
可得n最大＝6－3.∴S最大＝[9＋(m最大－n最小)2]
＝[9＋(3－3－6＋3)2]＝99－54.
综上所述，这两个正方形面积和的最大值是99－54，最小值是.