高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用精品巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用精品巩固练习，共5页。试卷主要包含了已知变量x，y有如下对应数据等内容，欢迎下载使用。

1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其R2的值应接近于( )
A．0.5 B．2 C．0 D．1
答案 D
解析 R2越接近于1，相关程度越高，故选D.
2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
答案 A
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
3．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
答案 B
解析 因为经验回归方程的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
4．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )
A．y＝a·xb B．y＝a＋bln x
C．y＝a·ebx D．y＝a·
答案 B
解析 由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a＋bln x模型进行拟合．
5．(多选)对于经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)) (eq \(b,\s\up6(^))>0)，下列说法正确的是( )
A．当x增加一个单位时，eq \(y,\s\up6(^))的值平均增加eq \(b,\s\up6(^))个单位
B．点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))一定在eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))所表示的直线上
C．当x＝t时，一定有y＝eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))
D．当x＝t时，y的值近似为eq \(b,\s\up6(^))t＋eq \(a,\s\up6(^))
答案 ABD
解析 经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上．
6．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．
答案 12.1
解析 将x＝15代入eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1，得eq \(y,\s\up6(^))＝12.1.
7．若经验回归直线方程中的回归系数eq \(b,\s\up6(^))＝0，则样本相关系数r＝________.
答案 0
解析 样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))与eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)的分子相同，故r＝0.
8．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
由表中数据算出经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中的eq \(b,\s\up6(^))＝－2，样本点的中心为(10，38)．
(1)表中数据m＝________；
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________件．
答案 (1)40 (2)14
解析 (1)由eq \x\t(y)＝38，得m＝40.
(2)由eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)得eq \(a,\s\up6(^))＝58，故eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，
当x＝22时，eq \(y,\s\up6(^))＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
9．已知变量x，y有如下对应数据：
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的经验回归方程．
解 (1)散点图如图所示．
(2)eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝eq \f(5,2)，eq \x\t(y)＝eq \f(1＋3＋4＋5,4)＝eq \f(13,4)，
eq \i\su(i＝1,4,x)iyi＝1＋6＋12＋20＝39，eq \i\su(i＝1,4,x)eq \\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)＝eq \f(13,10)，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \f(13,4)－eq \f(13,10)×eq \f(5,2)＝0，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(13,10)x即为所求的经验回归方程．
10．由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \\al(2,i)＝90，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝112，eq \i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq \i\su(i＝1,5,y)i＝25.
(1)求所支出的维修费y关于使用年限x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？
解 (1)∵eq \i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq \i\su(i＝1,5,y)i＝25，
∴eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5,x)i＝4，eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5,y)i＝5，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,5,x)\\al(2,i)－5\x\t(x)2)＝eq \f(112－5×4×5,90－5×42)＝1.2，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝5－1.2×4＝0.2.
∴所求经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2.
(2)①由(1)知eq \(b,\s\up6(^))＝1.2>0，∴变量x与y之间是正相关．
②由(1)知，当x＝8时，eq \(y,\s\up6(^))＝1.2×8＋0.2＝9.8，
即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．
能力提升
1．设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，Y关于x的经验回归方程的回归系数为eq \(b,\s\up6(^))，回归截距是eq \(a,\s\up6(^))，那么必有( )
A.eq \(b,\s\up6(^))与r的符号相同 B.eq \(a,\s\up6(^))与r的符号相同
C.eq \(b,\s\up6(^))与r的符号相反 D.eq \(a,\s\up6(^))与r的符号相反
答案 A
解析 eq \(b,\s\up6(^))与r的符号相同．
2．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n(n≥10)个城市职工购买食品的人均支出y(千元)与人均月消费支出x(千元)具有线性相关关系，且经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.4x＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为( )
A．60% B．64% C．58% D．55%
答案 B
解析 把x＝5代入经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.4x＋1.2中，得eq \(y,\s\up6(^))＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为eq \f(3.2,5)＝0.64＝64%，故选B.
3．(多选)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．经验回归方程过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg
答案 ABC
解析 A，B，C均正确，是经验回归方程的性质，D项是错误的，经验回归方程只能预测学生的体重，应为大约58.79 kg.时间
二月
上旬
二月
中旬
二月
下旬
三月
上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5