高中数学1.1 任意角和弧度制教学设计

第二十三教时

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式

目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。

过程：

一、        解答本章开头的问题：（课本 P3）

                            令AOB =  , 则AB = acos  OA = asin

                                ∴S矩形ABCD= acos×2asin = a2sin2≤a2

                                当且仅当 sin2 = 1，

                                即2 = 90， = 45时, 等号成立。

                                此时，A,B两点与O点的距离都是

二、        半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的

例一、            求证：

        证：1在 中，以代2，代  即得：

                      ∴

            2在 中，以代2，代  即得：

                      ∴

            3以上结果相除得：

      注意：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。            2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切

            3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）

            4还有一个有用的公式：（课后自己证）

三、        万能公式

例二、            求证：

        证：1

            2

            3

      注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）

            2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切

              即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，

              可以使解题过程简洁

            3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小    

      例三、已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

        解：∵       ∴cos   0  (否则 2 =  5 )

            ∴    解之得：tan  = 2

            ∴原式

四、        小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）

五、        作业：《精编》P73   16

补充：

1．已知sin + sin = 1，cos + cos = 0，试求cos2 + cos2的值。(1)

       （《教学与测试》P115  例二） 

2．已知，，tan =，tan =，求2 +  的大小。

3．已知sinx =，且x是锐角，求的值。

4．下列函数何时取得最值？最值是多少？

    1                    

    2                  

    3        

5．若、、为锐角，求证： +  +  =

6．求函数在上的最小值。