高中数学人教版新课标A必修41.1 任意角和弧度制教案

1.1.2　弧度制

问题导学

一、弧度制的概念

活动与探究1

下面各命题中，是假命题的为__________．

①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径长短有关．

迁移与应用

圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．2

不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．

二、弧度制与角度制的换算

活动与探究2

设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝.

(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；

(2)将β1，β2用角度表示出来，并在[－360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角．

迁移与应用

(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；

(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β．

1．在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．

2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记．

三、扇形的弧长与面积公式的应用

活动与探究3

若扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求扇形圆心角的弧度数．

迁移与应用

1．在圆心角均为1弧度的若干个圆中，下列结论正确的是(　　)

A．所对的弧长相等

B．所对的弦长相等

C．所对的弧长等于各自圆的半径

D．所对的弦长等于各自圆的半径

2．如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．

1．明确弧度制下扇形的面积公式是(其中l是扇形弧长，α是扇形圆心角)．

2．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

当堂检测

1．若α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为(　　)

A．第一象限      B．第二象限

C．第三象限      D．第四象限

2．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是(　　)

A．{α|α＝kπ，k∈Z}

B．

C．{α|α＝2kπ，k∈Z}

D．

3．圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)

A．      B．

C．     D．2

4．化成角度为__________．

5．在直径为20 cm的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为__________．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．(1)　(2)半径长　圆心角　弧度制　弧度

(3)正数　负数　0　

预习交流1　提示：根据1弧度角的定义，圆周长是2π个半径，所以圆周角是2π弧度，所以1弧度角就是圆周角，与圆的大小即半径无关．

2．2π rad　360°　π rad　180°　rad　°

预习交流2　提示：不正确．在表示角时，角度与弧度不能混合使用．一般情况下，“弧度”二字或“rad”可省略不写．

5．αR　l＋2R　lR　αR2

预习交流3　提示：扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：正确理解“角度”与“弧度”的概念，从而进行正确的判断．

④　解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以④是假命题．

迁移与应用　C　解析：设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，

所以圆心角的弧度数为＝．

活动与探究2　思路分析：首先利用1°＝ rad可将角度化成弧度，利用1 rad＝°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出α1，α2终边所在的象限，与β1，β2终边相同且在[－360°，360°)内的角．

解：(1)∵1°＝ rad，

∴α1＝510°＝510×＝π＝2π＋π；

α2＝－750°＝－750×＝－π＝－3×2π＋π．

∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．

(2)β1＝π＝×°＝144°．

设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．

∵－360°≤θ1＜360°，

∴－360°≤k·360°＋144°＜360°．

∴k＝－1或k＝0．

∴在[－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°角．

β2＝－π＝－×°＝－330°．

设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．

∵－360°≤θ2＜360°，

∴－360°≤k·360°－330°＜360°．

∴k＝0或k＝1．

∴在[－360°，360°)内与β2终边相同的角是30°角．

迁移与应用　解：(1)∵－1 480°＝－π＝－8π－π＝－10π＋π，

又∵0≤π＜2π，

故－1 480°＝π－2×5π．

(2)∵β与α终边相同，

∴β＝α＋2kπ＝π＋2kπ，k∈Z．

又∵β∈[－4π，0]，

∴β1＝π－2π＝－，β2＝π－4π＝－π．

活动与探究3　思路分析：确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个．

解：设扇形的半径为R，弧长为l，由已知得

解得

∴扇形圆心角的弧度数是＝2．

迁移与应用　1．C　解析：∵l＝θR，θ＝1，∴l＝R，故选C．

2．解：S扇形AOB＝×π×62＝12π，

S△AOB＝×62×sin 120°＝9，

∴S弓形ACB＝S扇形AOB－S△AOB＝12π－9．

【当堂检测】

1．D

2．D　解析：A选项表示的角的终边在x轴上；B选项表示的角的终边在y轴上；C选项表示的角的终边在x轴非负半轴上；D选项表示的角的终边在y轴非负半轴上，故选D．

3．C　4.72°

5． cm　解析：150°＝150×＝，

∴l＝×10＝(cm)．