人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质学案及答案

这是一份人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质学案及答案，共10页。学案主要包含了学法导航，专题综合，专题突破等内容，欢迎下载使用。
基本初等函数Ⅱ（三角函数）【学法导航】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；（2）利用的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.⑷写单调区间注意.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.（三）正弦型函数的图象变换方法如下：先平移后伸缩　　的图象得的图象得的图象得的图象得的图象．先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象． 【专题综合】例1.已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2)    .说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量，且，(1)求函数的表达式；(2)若，求的最大值与最小值解：(1)，，，又，所以，所以，即；(2)由(1)可得，令导数，解得，列表如下： t－1(－1，1)1(1，3)导数0－0+极大值递减极小值递增而所以说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。例3. 平面直角坐标系有点（1）求向量和的夹角的余弦用表示的函数；（2）求的最值.解：（1）， 即         （2） ，  又    ， ，    ，   .说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例4. 设  [0, ],  且 cos2+2msin-2m-2<0 恒成立,  求 m 的取值范围.解法 1 由已知 0≤sin≤1 且 1-sin2+2msin-2m-2<0 恒成立.令 t=sin,  则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 t[0, 1] 恒成立.故可讨论如下: (1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m>, ∴<m<0;(2)若 0≤m≤1,  则 f(m)>0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 1<m<1+, ∴0≤m≤1;(3)若 m>1, 则 f(1)>0. 即 0m+2>0. ∴mR, ∴m>1.综上所述 m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞).解法 2 题中不等式即为 2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0, ], ∴0≤sin≤1.当 sin=1 时,  不等式显然恒成立,  此时 mR; 当 0≤sin<1 时,恒成立. 令 t=1-sin,  则 t(0, 1],  且 恒成立.  易证   g(t)=1-在 (0, 1] 上单调递增,  有最大值 -    ,  ∴m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞). 说明：三角函数与不等式综合，注意“恒成立”问题的解决方式 【专题突破】一、选择题1．有下列命题：①终边相同的角的三角函数值相同；②同名三角函数的值相同的角也相同；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；④不相等的角，同名三角函数值也不相同．其中正确的个数是(  )A．0   B．1   C．2   D．32．角α的终边上有一点P（a，a），a∈R，a≠0，则sinα的值是(  )A．    B．－  C． 或－  D．13．若++=－1，则角x一定不是(  )A．第四象限角    B．第三象限角C．第二象限角    D．第一象限角4．如果＜θ＜，那么下列各式中正确的是(  )A．cosθ＜tanθ＜sinθ   B．sinθ＜cosθ＜tanθC．tanθ＜sinθ＜cosθ   D．cosθ＜sinθ＜tanθ 5．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则P（cosB－sinA，sinB－cosA）在(  )A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限6．若sinαtanα＞0，则α的终边在(  )A．第一象限      B．第四象限C．第二或第三象限    D．第一或第四象限7．若角α的终边与直线y=3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m－n等于(  )A．2   B．－2   C．4   D．－48．下列三角函数：①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］；⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）．其中函数值与sin的值相同的是（ ）A．①②    B．①③④   C．②③⑤   D．①③⑤9．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（ ）A．－  B．   C．－   D．10．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A．cos（A+B）=cosC     B．sin（A+B）=sinCC．tan（A+B）=tanC     D．sin=sin11．下列函数中，同时满足①在（0，）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是(  )A．y=tanx  B．y=cosx  C．y=tan  D．y=|sinx| 12．函数y=2tan（3x－）的一个对称中心是(    ) A．（，0）   B．（，0）   C．（－，0）  D．（－，0）二、填空题13．若角α的终边经过P（－3，b），且cosα=－，则b=_________，sinα=_________．14.若α是第三象限角，则=_________．15．tanα=m，则           ．16.函数 y=f(x) 的图象右移，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x的图象，则y=f(x)解析式是_______________． 三、解答题17.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边过点P（－，y），且sinα=y（y≠0），判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值．18. 根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角α的取值集合．（1）sinα=；（2）cosα=；（3）tanα=－1；（4）sinα＞．19. 化简：．20. 求函数y=－2tan（3x+）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．21. 数的最小值为（1）求（2）若，求及此时的最大值22. 已知f(x)是定义在R上的函数，且(1)试证f(x)是周期函数.　　　(2)若f(3)=，求f(2005)的值. 专题突破参考答案一、选择题1．B     2． C    3．D   4．D  5． D   6． D  7．A  8．C  9．B  10．B11．A   12． C二、填空题13．±4  ±  14.－sinα－cosα  15．    16.y=tan(x+)   三、解答题17. 解：依题意，点P到原点O的距离为|OP|=，∴sinα==y．∵y≠0，∴9+3y2=16．∴y2=，y=±．∴点P在第二或第三象限．当点P在第二象限时，y=，cosα==－，tanα=－；18．解：（1）已知角α的正弦值，可知MP=，则P点的纵坐标为．所以在y轴上取点（0，），过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1、P2两点，则OP1、OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为｛α｜α=2kπ+，或α=2kπ+，k∈Z｝．如下图．（2）因为OM=，则在x轴上取点（，0），过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1、OP2是所求角α的终边，α的取值集合为｛α｜α=2kπ±，k∈Z｝．如下图．（3）在单位圆过点A（1，0）的切线上取AT=－1，连结OT，OT所在直线与单位圆交于P1、P2两点，OP1、OP2是角α的终边，则角α的取值集合是｛α｜α=2kπ+，或α=2kπ+，k∈Z｝=｛α｜α=kπ±π，k∈Z｝．如下图．（4）这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的角，而是适合条件的角的范围．如下图，作出正弦值等于的角α的终边，正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围如下图中的阴影部分，α的取值集合是{α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z}． 当点P在第三象限时，y=－，cosα==－，tanα=．19. 解：=====－1．20. 解：由3x+≠kπ+，得x≠（k∈Z），∴所求的函数定义域为{x|x≠（k∈Z）}，值域为R，周期为，它既不是奇函数，也不是偶函数．kπ－≤3x+≤kπ+（k∈Z），∴≤x≤（k∈Z）．在区间［，］（k∈Z）上是单调减函数．21. 解： (1)函数的最小值为， ， ，，＝ (2) 22. 解： (1)由，故f(x+4)= =f(x+8)=f(x+4+4)==f(x)，即8为函数的周期(2)由 f(x+4) =，得f(5) = ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=