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数学必修41.4 三角函数的图象与性质学案
展开这是一份数学必修41.4 三角函数的图象与性质学案,共4页。学案主要包含了高考会这样考,复习指导等内容,欢迎下载使用。
湖北省监利县第一中学2014年高中数学 三角函数的图象与性质学案 新人教A版必修4
【高考会这样考】
1.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用.
2.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用.
【复习指导】
1.掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过三角函数的图象研究其性质.
2.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用.
基础梳理
1.“五点法”描图
(1)y=sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:
(2)y=cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:
2.三角函数的图象和性质
函数性质 | y=sin x | y=cos x | y=tan x |
定义域 |
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图象 | |||
值域 |
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对称性 |
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周期 |
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单调性 |
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奇偶性 |
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两条性质
(1)周期性
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法:
(1)利用sin x、cos x的有界性;
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
双基自测
1.函数y=cos,x∈R( ).
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2.函数y=tan的定义域为( ).
A. B.
C. D.
3.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( ).
A.f(x)在单调递减 B.f(x)在单调递减
C.f(x)在单调递增 D.f(x)在单调递增
4.y=sin的图象的一个对称中心是( ).
A.(-π,0) B. C. D.
5.(2011·合肥三模)函数f(x)=cos的最小正周期为________.
考向一 三角函数的定义域与值域
【例1】►(1)求函数y=lg sin 2x+的定义域.
(2)求函数y=cos2x+sin x的最大值与最小值.
.
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练1】 (1)求函数y=的定义域.
(2)已知函数f(x)=cos+2sin·sin,求函数f(x)在区间上的最大值与最小值.
考向二 三角函数的奇偶性与周期性
例2】►(2011·大同模拟)函数y=2cos2-1是( ).
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把三角函数式化为一个角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.
【训练2】 已知函数f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则f(x)的最小正周期是________.
考向三 三角函数的单调性
【例3】►已知f(x)=sin x+sin,x∈[0,π],求f(x)的单调递增区间.
求形如y=Asin(ωx+φ)+k的单调区间时,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,若ω为负则要先把ω化为正数.
【训练3】 函数f(x)=sin的单调减区间为______.
考向四 三角函数的对称性
【例4】►(1)函数y=cos图象的对称轴方程可能是( ).
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
(2)若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为________.
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.
【训练4】 (1)函数y=2sin(3x+φ)的一条对称轴为x=,则φ=________.
(2)函数y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则φ=________.
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.
一、根据三角函数的单调性求解参数
【示例】► (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)的单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z),则ω的值为________.
二、根据三角函数的奇偶性求解参数
【示例】► (2011·泉州模拟)已知f(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)为偶函数,则φ可以取的一个值为( ).
A. B. C.- D.-
【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y=sin ωx·sin(ω>0)的最小正周期为,则ω=________.
三、根据三角函数的最值求参数
【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)=asin x-bcos x在x=处有最小值-2,则常数a、b的值是( ).
A.a=-1,b= B.a=1,b=-
C.a=,b=-1 D.a=-,b=1