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    湖北省监利县第一中学2014年高一数学《三角函数的图象与性质》学案(新人教A版必修4)

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    数学必修41.4 三角函数的图象与性质学案

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    这是一份数学必修41.4 三角函数的图象与性质学案,共4页。学案主要包含了高考会这样考,复习指导等内容,欢迎下载使用。


    湖北省监利县第一中学2014年高中数学 三角函数的图象与性质学案 新人教A版必修4

    【高考会这样考】

    1.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用.

    2.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用.

    【复习指导】

    1.掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过三角函数的图象研究其性质.

    2.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用.

    基础梳理

    1五点法描图

    (1)ysin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:                                            

     (2)ycos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为:                                          

    2三角函数的图象和性质

     函数性质  

    ysin x

    ycos x

    ytan x

    定义域

     

     

     

    图象

    值域

     

     

     

    对称性

     

     

     

    周期

     

     

     

    单调性

     

     

     

    奇偶性

     

     

     

    两条性质

    (1)周期性

    函数yAsin(ωxφ)yAcos(ωxφ)的最小正周期为ytan(ωxφ)的最小正周期为.

    (2)奇偶性

    三角函数中奇函数一般可化为yAsin ωxyAtan ωx,而偶函数一般可化为yAcos ωxb的形式.

    三种方法

    求三角函数值域(最值)的方法:

    (1)利用sin xcos x的有界性;

    (2)形式复杂的函数应化为yAsin(ωxφ)k的形式逐步分析ωxφ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;

    (3)换元法:把sin xcos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

    双基自测

    1.函数ycosxR(  )

    A.是奇函数                       B.是偶函数

    C.既不是奇函数也不是偶函数       D.既是奇函数又是偶函数

    2.函数ytan的定义域为(  )

    A.   B.

    C.   D.

    3.设函数f(x)sin(ωxφ)cos(ωxφ)的最小正周期为π,且f(x)f(x),则(  )

    Af(x)单调递减           Bf(x)单调递减

    Cf(x)单调递增           Df(x)单调递增

    4ysin的图象的一个对称中心是(  )

    A(π0)     B.      C.     D.

    5(2011·合肥三模)函数f(x)cos的最小正周期为________

     

    考向一 三角函数的定义域与值域

    【例1(1)求函数ylg sin 2x的定义域.

    (2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值.

     

     

     

     

     

    .

    (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

    (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:

    形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(ωxφ)k的形式,再求最值(值域)

    形如yasin2xbsin xc的三角函数,可先设sin xt,化为关于t的二次函数求值域(最值)

    形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数,可先设tsin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值)

    【训练1 (1)求函数y的定义域.

    (2)已知函数f(x)cos2sin·sin,求函数f(x)在区间上的最大值与最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    考向二 三角函数的奇偶性与周期性

    2(2011·大同模拟)函数y2cos21(  )

    A.最小正周期为π的奇函数   B.最小正周期为π的偶函数

    C.最小正周期为的奇函数   D.最小正周期为的偶函数

     

    求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把三角函数式化为一个角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.

    【训练2 已知函数f(x)(sin xcos x)sin xxR,则f(x)的最小正周期是________

     

     

     

    考向三 三角函数的单调性

    【例3已知f(x)sin xsinx[0π],求f(x)的单调递增区间.

     

     

     

    求形如yAsin(ωxφ)k的单调区间时,只需把ωxφ看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可,若ω为负则要先把ω化为正数.

    【训练3 函数f(x)sin的单调减区间为______

     

     

     

    考向四 三角函数的对称性

    【例4(1)函数ycos图象的对称轴方程可能是(  )

    Ax=-  Bx=-  Cx  Dx

    (2)0αg(x)sin是偶函数,则α的值为________

     

     

     

    正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.

    【训练4 (1)函数y2sin(3xφ)的一条对称轴为x,则φ________.

    (2)函数ycos(3xφ)的图象关于原点成中心对称图形.则φ________.

     

     

      

    难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题

    含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析.

    一、根据三角函数的单调性求解参数

    【示例】 (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)sin(ω0)的单调递增区间为(kZ),单调递减区间为(kZ),则ω的值为________

     

     

    二、根据三角函数的奇偶性求解参数

    【示例】 (2011·泉州模拟)已知f(x)cos(xφ)sin(xφ)为偶函数,则φ可以取的一个值为(  )

    A.  B.  C.-  D.-

     

     

     

    【示例】 (2011·合肥模拟)若函数ysin ωx·sin(ω0)的最小正周期为,则ω________.

     

     

     

    三、根据三角函数的最值求参数

    【示例】 (2011·洛阳模拟)若函数f(x)asin xbcos xx处有最小值-2,则常数ab的值是(  )

    Aa=-1b   Ba1b=-

    Cab=-1   Da=-b1

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