人教版新课标A必修41.6 三角函数模型的简单应用学案

第14讲  函数模型及其应用（第一课时）

一、学习目标：

①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会中普遍使用的函数模型)的广泛应用．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。

二、基础知识：

1．常用的函数模型有：   （一次函数），二次函数，   （指数函数），      

（对数函数），幂函数。

2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间上，尽管函数，和都是增函数，但是它们的    （增长速度）不同，而且不在同一个“档次上”。随着的增大，增长速度       ，（越来越快）会越过并且远远大于的       ；（增长速度）而的增长速度会      ，（越来越慢）

因此，总会存在一个，当时，有        。（）。

3．函数模型的应用实例的基本题型：（1）给定函数模型解决实际问题；（2）建立

     （确定性）的函数模型解决实际问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题。

4．解应用题的基本步骤：审题、设量、建模、解模、还原．

二、基础练习：

1．某种商品，现在定价每件元，每月卖出件，根据市场调查显示：定价每上涨成，卖出的数量将会减小成，如果涨价后的销售总金额是现在的倍，则用来表示的函数关系式为          。

解：根据题意可列式。∴，

从而。

2．某公司租地建仓库，每月土地占有费与仓库到车站的距离成反比；而每月库存货物的运费与到车站的距离成正比。如果在距车站处建仓库，这两项费用分别为万元和万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站    处5

解：由已知，0.8（为仓库与车站的距离）。费用之和为0.8，当且仅当0.8，即时，等号成立。

3．根据调查，某厂生产的一种产品月份盈利为万元（），近似地满足.，为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只需生产    个月。8

解：∵，欲有利润，则，即，

∴，因此，只需从3月份开始生产到10月份，共生产8个月。

四、例题选讲：

1（金榜P53）．电信局为了配合客户不同意需要，

设有、两种优惠方案。这两种方案应付电话费

（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示

（实线部分）。(注：图中∥，)试问：

（1）若通话时间为小时，按方案、各付话费多少元？

（2）方案从500分钟以后，每分钟收费多少元？

（3）通话时间在什么范围，方案才会比方案优惠。

解：由图知，，，，

∥。

设这两种方案应付话费与通话时间的函数关系分别为，，则

（1）通话2小时两种方案的话费分别为116元和168元。

（2）因为。

∴方案从500分钟以后，每分钟收费元。

（3）由图知，当时，，当时，，

∴当时，由，得，即当通话时间在内，方案比方案优惠。

2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）生产每吨产品的平均成本为：，

由于，当且仅当时，即时等号成立。

（2）设年利润为，则

，由于在上为增函数，故当

时，的最大值为1660。

答：（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。

3．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为万元，但每生产100台，需增加可变成本（即另增加投入）万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入为

（万元），其中是产品售出数量（单位：百台）。

（1）把年纯利润表示为年产量单位：百台）的函数；

（2）年产量为多少时，工厂所得纯利润最大？（纯利润=销售收入—成本）

解：（1）当时，纯利润

；

当时，。

∴

（2）当时，，

∴当时，最大值为（万元）；

当时，（万元）。

∴年产量为台时，工厂的纯利润最大。

五、教学反馈

1．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆形的面积之和最小，正方形的周长应为       。

解：设正方形的周长为，则圆的周长为，半径，

∴。

当时，有最小值。

2．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月须交的固定费用）30元，在市区通话时每分钟另收话费0.18元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市区通话时每分钟话费0.20元，若某拥护每月手机费预算为100元，则在这两种手机卡中，购买           卡较合算。神州行

3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（万元）与营运年数为二次函数关系为：

，则每辆客车营运   年可使其营运年平均利润最大。5

解 ：所求为，∴当，即时，年平均利润最大为。

第14讲  函数模型及其应用（第二课时）

一、基础练习：

1．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商场商品因供不应求，连续两次提价10%，而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙电脑均以9801元售出，若商场同时甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利情况的序号是     。②

①．前后相同；②．少赚598元；③．多赚980.1元；④．多赚490. 05元。

解：设甲、乙两种电脑原来的价格分别为元、元，则，

，解得元，，元。

2．据有关资料表明，世界人口由1976年的40亿增加到1987年的50亿，历经了11年的时间，如果按此增长率增长，2020的世界人口数将接近    亿。98

3．2005年9月，亚洲几个国家再次爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死“禽流感”病毒N的同时能够自我复制，已知1个细菌M可以杀死1个病毒N，并分裂成2个细菌M，那么将1个细菌M和2047个“禽流感”病毒N放在一起，当病毒N全被杀死后，细菌M的个数为 个2048

4．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为，则通过块玻璃板后的强度为，则关于的函数关系式为       。

解：光线通过第1块玻璃板后的强度为；通过第2块玻璃板后的强度为；依此类推；通过第块玻璃板后的强度为。

二、例题选讲：

1．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内礼品价值为元时，比礼品为（）元时的销售量增加10%。

（1）写出礼品价值为元时，利润（元）与的函数关系式；

（2）请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润。

解：（1）设未赠送礼品时的销量为件，则当礼品价值为元时，销售量为件，

利润。

令，即解之得。

∴。

令，即，解之得。

∴。

故礼品价值为元或元时，商店获得最大利润。

2.某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以

后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y

与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为

常数）．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？

说明理由．

解：若用函数为模拟函数，由条件可得，，，故；

若用二次函数为模拟函数，由条件可得，，，故．

由4月份的产量为1.36万件知选取函数为模拟函数较好．

3．（金榜P54）南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）

 芦蒿的市场需求量信息表（1）

芦蒿的市场供应量信息表（2）

（1）试写出描述芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式；

（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，又称供求平衡）（近似到吨）

解：（1）在直角坐标系中由表（1）描出数对对应的点，由图1可知这些点近似地构成一条直线（其中四个点在一直线上）

所以芦蒿的市场需求量关于价格的近似函数关系式为：

即    ①

（2）同理如图2，

可知芦蒿市场供应量关于价格的近似函数关系式为：

                            ②

解①②联立的方程组，得，

则市场对芦蒿的供求平衡量为35吨。

答：市场对芦蒿的供求平衡量近似为35吨。

三、教学反馈

1．用清水洗衣服，若每次洗去污垢的，要使残留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（参考数据：.）    。4

解：由题意得不等式，两边取对数，得

，因而

2．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系满足，若这种动物第一年有100只，则到第七年它们发展到       只。30

3．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）

与时间t（月）的关系：，以下叙述中正确的

序号是   ①②⑤   ．（把正确叙述的序号都填上）

①这个指数函数的底数为2；

②第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；

③浮萍从4m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；

④浮萍每月增加的面积都相等；

⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为

t1、t2、t3，则t1+t2=t3．