人教版新课标A1.6 三角函数模型的简单应用精练

1.

如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝sin(2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)

A.，　　　　　　　　 B．2，

C.，π   D．2，π

解析：选A.当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.

2．发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数：IA＝Isin ωt，IB＝Isin(ωt＋120°)，IC＝Isin(ωt＋240°)，则IA＋IB＋IC的值为(　　)

A．I   B.I

C．0   D．不能确定

解析：选C.由题意得到结果与t的取值无关，所以可令t＝0，则IA＋IB＋IC＝Isin 120°＋Isin 240°＝0.

3.

如图所示的是一半径为3 m的圆形水轮，水轮的中心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)

A．ω＝，A＝3   B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝5   D．ω＝，A＝5

解析：选A.∵T＝15，∴ω＝＝，显然ymax－ymin＝6，∴A＝＝＝3.

4．曲线y＝Asin ωx＋a(A>0，ω>0)在区间[0，]上截直线y＝2及y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A，a的描述正确的是(　　)

A．a＝，A>   B．a＝，A≤

C．a＝1，A≥1   D．a＝1，A≤1

解析：选A.图象的上下部分的分界线为y＝＝，得a＝，且2A>3，A>.

5．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则人流量是增加的时间段为(　　)

A．[0,5]   B．[5,10]

C．[10,15]   D．[15,20]

解析：选C.由－＋2kπ≤≤＋2kπ，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[－π＋4kπ，π＋4kπ]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.

6.

如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s往返一次．

解析：由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次．

答案：0.8

7.

如图是电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋)(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝秒时，电流强度是________安．

解析：由图象可知，A＝10，周期T＝2×(－)＝，所以ω＝＝100π，

所以I＝10sin(100πt＋)．

当t＝秒时，I＝10sin(2π＋)＝5(安)．

答案：5

8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A与过B点的水平线间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．

解析：将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)＋b形式，由题意易知A＝5，b＝5.当t＝0时，d＝0，得φ＝－.由周期T＝60 s，可得ω＝＝，所以d＝5sin(－)＋5.

答案：5sin(－)＋5

9．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

(1)求这一天的最大温差；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解：(1)由图象可知，最大温差为30－10＝20(℃)．

(2)从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20.

∵×＝14－6，∴ω＝.

将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝.

综上，所求解析式为y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6,14]．

10．大风车叶轮最高顶点离地面14.5 m，风车轮直径为14 m，车轮每分钟匀速转动2周，风叶轮顶点从离地面最低点经16 s后到达最高点，假设风叶轮离地面高度y(m)与风叶轮离地面最低点开始转的时间t(s)建立一个数学模型，用函数y＝asin[ω(t－b)]＋c来表示，试求出其中四个参数a，b，c，ω的值．

解：叶轮每分钟旋转2周，即f＝＝，又f＝，

∴f＝.

∴ω＝2π×＝.

叶轮应该在离圆心上下、左右7 m范围内变化，即正弦函数振幅a＝7，根据叶轮顶点从离地面最低，经16秒后到达最高位置，可得ω(16－b)＝，即b＝16－＝8.5，圆心离地面高度7. 5 m不变，即c＝7.5.

∴函数为y＝7sin[ (t－8.5)]＋7.5.