高中数学人教版新课标A必修41.6 三角函数模型的简单应用习题

【巩固练习】

1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,

则sin2θ-cos2θ的值是             (    )                                                   

(A) 1              (B)                 (C)             (D) -

2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（    ）

A．2πs    B．πs    C．0.5 s    D．1 s

3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为

的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为

（A）；   （B）

（C）；  （D）

4．电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是，则当s时，电流强度I为（    ）

A．5 A    B．2.5 A    C．2 A    D．－5 A

5．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（    ）

A．，A=3    B．，A=3

C．，A=6    D．，A=6

6．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（    ）

A．    B．

C．    D．

7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为=1°，若很小时，可取sin≈，试估算该气球的高BC约为（    ）

A．70 m    B．86 m    C．102 m    D．118 m

8．设是某港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24 h记录的时间t与水深y的关系：

经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（    ）

A．，t∈[0，24]

B．，t∈[0，24]

C．，t∈[0，24]

D．，t∈[0，24]

9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．

10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．

11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h（米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危（＞0，＞0），则水面高度h与时间t的函数关系式为________．

12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．

    （1）求出种群数量关于时间t的函数解析式，t以月为单位；

    （2）画出种群数量关于时间t的简图．

13．某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．

    （1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；

（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

【答案与解析】

1. 【答案】D

【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设所对的直角边为

则由勾股定理得：，解得，，，进一步求得，所以，故选D.

2．【答案】D

 【解析】周期（s）．

3．【答案】A

【解析】八边形的面积=

4．【答案】B 

【解析】

5．【答案】A

【解析】 ∵T=15，故，显然的值等于圆O的直径长，即，故．

6．【答案】B

 【解析】由周期T=12，得，，．

7．【答案】B 

【解析】由已知CD=3 m，，又，

∴，∴BC=AC·sin30°≈86（m）．故选B．

8．【答案】A 

【解析】在中，．

，，而T=12，，显然．

9．【答案】 

【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴，

    将点（0.1，2）代入，得．

10．【答案】60米，米 

【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，

在Rt△CDE中，．

∴乙楼的高度为米．

11．【答案】

【解析】由题图知A=6，T=12，，又由，得，，k∈Z．

所以．

12．【解析】（1）设所求的函数解析式为，则，A=100，且，所以．又．所以．因此所求的函数解析式为．

（2）图象（简图）如图．

13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此，．

又当t=0时，y=10；当t=3时，ymax=13，得b=10，A=13―10=3．

于是所求函数解析式为．

（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）．

令，可得．

∴（k∈Z）．

∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．

取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；

而取k=2时，则25≤t≤29（不合题意）．

∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．