高中数学1.6 三角函数模型的简单应用巩固练习

1.6三角函数模型的简单应用

一、选择题

1．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意实数x，都有f＝f，则f等于(　　)

A．0　　　　 B．3

C．－3    D．3或－3

[答案]　D

[解析]　由f＝f，可知函数关于直线x＝对称，∴f＝±3.

2．设函数y＝sin(ωx＋φ)＋1(ω>0)的一段图象如右图所示，则周期T、初相φ的值依次为(　　)

A．π，－　　 B．2π，

C．π，－　　 D．2π，－

[答案]　C

[解析]　∵T＝2＝π，所以ω＝＝＝2.

此时y＝sin(2x＋φ)＋1，因为是使函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋1取最小值的点，所以2x＋φ＝－＋2kπ，φ＝－2×－＋2kπ＝－＋2kπ，k∈Z，可取φ＝－.

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝fsinx在[0，π]上的大致图象是(　　)

[答案]　A

[解析]　当0<x<时，0<－x<，显然y＝fsinx>0，排除C、D；当<x<π时，－<－x<0，显然y＝fsinx<0，排除B.所以只有A符合题意．

4．已知函数f(x)＝sin的图象上相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期是(　　)

A．1　　　  B．2　　　

C．3　　　  D．4

[答案]　D

[解析]　由三角函数的性质及题设条件可知点在圆x2＋y2＝k2上，所以2＋()2＝k2.解得k＝±2.此时，函数的最小正周期是T＝＝2|k|＝4.

5．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝x＋sinx

B．f(x)＝

C．f(x)＝xcosx

D．f(x)＝x··

[答案]　C

[解析]　观察图象知，f(x)为奇函数，排除D；又函数在x＝0处有定义，排除B；取x＝，得f＝0，A不适合，故选C.

6．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上(　　)

A．是增函数

B．是减函数

C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值－M

[答案]　C

[解析]　f(x)在区间[a，b]上是增函数，

又f(a)＝－M，f(b)＝M，故有M>0，－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)，则有g(x)在[a，b]上不是增函数，也不是减函数，但当ωx＋φ＝2kπ时，g(x)可取得最大值M.

[点评]　本题主要考查函数的性质，本题还可以用“特殊值”法求解．

7．函数f(x)图象的一部分如图所示，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝4sin＋3.5

B．f(x)＝3.5sin＋4

C．f(x)＝3.5sin＋4.5

D．f(x)＝4sin＋3.5

[答案]　B

[解析]　设函数的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0)．

由图象可知∴

∴y＝3.5sin(ωx＋φ)＋4.∵＝9－3＝6，∴T＝12，

∴ω＝＝＝，∴y＝3.5sin(x＋φ)＋4.当x＝3时，y＝7.5代入上式，∴7.5＝3.5sin(＋φ)＋4，

∴sin(＋φ)＝1，∴φ＝0，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝3.5sin(x)＋4.故选B.

8．要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝sin(2x＋)的图象上所有点的(　　)

A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度

[答案]　C

[解析]　∵y＝cosx＝sin(x＋)，∴将y＝sin(2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，再向左平移个单位即可得到y＝sin(x＋)的图象．故选C.

9．(09·辽宁理)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝(　　)

A．－    B.

C．－    D.

[答案]　B

[解析]　由图知＝－＝⇒T＝，由＝T⇒ω＝3.

∴f(x)＝Acos(3x＋φ)，

当x＝时，y＝0⇒3×＋φ＝2kπ－　(k∈Z)，φ＝2kπ－，当k＝1时，φ＝－.∴y＝Acos，

当x＝时，y＝－得，－＝A·cos，－A＝－⇒A＝.

∴y＝cos，

当x＝0时，f(0)＝·cos＝，∴选B.

10．(09·天津理)已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

[答案]　A

[解析]　∵T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

∴f(x)＝sin

＝sin(2x＋)＝cos2x

∴ y＝f(x)图象左移个单位即得g(x)＝cos2x的图象．故选A.

二、填空题

11．振动量y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．

[答案]　3πx－π

[解析]　∵f＝，∴T＝，∴ω＝＝3π，

又φ＝－π，∴y＝sin(3πx－π)，

∴振动量y的相位是3πx－π.

12．如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．

[答案]　y＝2sin

[解析]　A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，

∴ω＝＝，

∴y＝2sin，将(0.1,2)代入得：×0.1＋φ＝，∴φ＝，∴y＝2sin.

13．方程lg|x|＝sinx实数根的个数是________．

[答案]　6个

[解析]　如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．

14．函数f(x)＝，若f(1)＋f(α)＝2，则α的所有可能值的集合为________．

[答案]　{1，－}

[解析]　∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(α)＝1，

若α≥0，则eα－1＝1，∴α＝1，

若α<0，则sin(πα2)＝1，∴πα2＝＋2kπ，

∵－1<α<0，∴k＝0，α2＝，∴α＝－.

三、解答题

15．已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)．

(1)如图是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求解析式．

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωT＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

[解析]　(1)由图知，A＝300，

＝－＝，∴T＝，∴ω＝，

由·＋φ＝0，得φ＝.

∴I＝300sin；

(2)∵t在任一段秒内I能取到最大值和最小值，

∴T≤，ω≥300π>942，∴ω最小取值为943.

16．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移S(厘米)和时间t(秒)的函数关系是S＝6sin.求：

(1)单摆开始摆动(t＝0)时离开平衡位置的位移；

(2)单摆离开平衡位置的最大位移；

(3)单摆来回摆动一次所需要的时间．

[解析]　(1)当t＝0时，S＝6sin＝3(cm)．

(2)当t＝时，位移最大，

S＝6sin＝6(cm)．

(3)单摆来回摆动一次所需要的时间就是周期，

∴T＝＝2s.

17．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b

(1)求这段时间的最大温差．

(2)写出这段曲线的函数解析式．

[解析]　(1)如图所示，这段时间的最大温差是30℃－10℃＝20℃.

(2)图中从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，

∴·＝14－6，∴ω＝

如图所示A＝×(30－10)＝10，

b＝×(30＋10)＝20

这时y＝10sin(x＋φ)＋20，

又(6,10)在函数图象上，代入上式得φ＝，

综上，所求解析式为：

y＝10sin(x＋)＋20　x∈[6,14]．

18．设关于x的方程sin＝在内有两个不同根α、β，求α＋β的值及k的取值范围．

[解析]　可在同一坐标系中画出函数y＝sin(2x＋)及y＝的图象，借助于图象的直观性求解．

设C：y＝sin，l：y＝，在同一坐标系中作出它们的图象如下图．

由图易见当≤<1时，即0≤k<1时，直线l与曲线C有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x＝对称，故α＋β＝.综上可知，0≤k<1，且α＋β＝.