高中人教版新课标A第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制精练

这是一份高中人教版新课标A第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制精练，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3) C.eq \r(3) D．2
解析：设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为eq \r(3)R，于是圆心角的弧度数为eq \f(\r(3)R,R)＝eq \r(3).故选C.
答案：C
2．若α为第一象限角，那么sin2α，cs2α，sineq \f(α,2)，cseq \f(α,2)中必定为正值的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：由于α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角，sin2α>0，cs2α符号不确定，eq \f(α,2)为第一或三象限角，sineq \f(α,2)，cseq \f(α,2)的符号均不确定．故选B.
答案：B
3．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,4)，cs\f(3π,4)))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(5π,4) D.eq \f(7π,4)
解析：解法一：r＝eq \r(sin2\f(3π,4)＋cs2\f(3π,4))＝1，由三角函数的定义，tanθ＝eq \f(y,x)＝eq \f(cs\f(3π,4),sin\f(3π,4))＝－1.
又∵sineq \f(3π,4)>0，cseq \f(3π,4)<0，
∴P在第四象限，∴θ＝eq \f(7π,4)，故选D.
解法二：Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，同上．
答案：D
4．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )
A．5 B．2 C．3 D．4
解析：设扇形的半径为R，圆心角为α，则有2R＋Rα＝eq \f(1,2)R2α，即2＋α＝eq \f(1,2)R·α，整理得R＝2＋eq \f(4,α)，由于eq \f(4,α)≠0，∴R≠2.
答案：B
5．(精选考题·烟台联考题)若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
解析：由题意，tanα＝3，α是第三象限角，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋n2＝10，,n＝3m<0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－3，))∴m－n＝2.
答案：A
6．(精选考题·福州模拟题)如图，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是( )
A．sinθ B．csθ C．tanθ D．ctθ
解析：根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择D.
答案：D
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．已知0≤α≤2π，点P(sinα－csα，tanα)在第一象限，则α的取值范围是________．
解析：由题设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα－csα>0，,tanα>0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα>csα，,tanα>0.))
再观察单位圆中的三角函数线即得答案．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪(π，eq \f(5,4)π)
8．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
解析：设内切圆的半径为r，
扇形半径为R，则(R－r)sin60°＝r.∴R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,\r(3))))r，
∴eq \f(S扇形,S圆)＝eq \f(\f(1,2)·\f(2π,3)R2,πr2)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,r)))2
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,\r(3))))2＝eq \f(7＋4\r(3),9).
答案：eq \f(7＋4\r(3),9)
9．若角β的终边与60°角的终边相同，在[0°，360°)内，终边与角eq \f(β,3)的终边相同的角为________．
解析：∵β＝k·360°＋60°，k∈Z，∴eq \f(β,3)＝k·120°＋20°，k∈Z.又eq \f(β,3)∈[0°，360°)，∴0°≤k·120°＋20°<360°，k∈Z，∴－eq \f(1,6)≤k答案：20°，140°，260°
10．(精选考题·南京第一次调研)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－eq \f(3,5)，则x的值为________．
解析：根据题意知tanα＝eq \f(－6,x)＝－eq \f(3,5)，所以x＝10.
答案：10
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求eq \f(sinα,csβ)＋eq \f(tanα,tanβ)＋eq \f(1,csαsinβ)的值．
解：由题意可知P(a，－b)，则sinα＝eq \f(－b,\r(a2＋b2))，csα＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，tanα＝－eq \f(b,a)；由题意可知Q(b，a)，则sinβ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，csβ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tanβ＝eq \f(a,b)，
∴eq \f(sinα,csβ)＋eq \f(tanα,tanβ)＋eq \f(1,csαsinβ)＝－1－eq \f(b2,a2)＋eq \f(a2＋b2,a2)＝0.
12．解答下列问题：
(1)若θ在第四象限，试判断sin(csθ)·cs(sinθ)的符号；
(2)若tan(csθ)·tan(sinθ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出eq \f(θ,2)所取的范围．
解：(1)∵θ在第四象限，
∴0∴sin(csθ)>0，cs(sinθ)>0，
∴sin(csθ)·cs(sinθ)>0.
(2)由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan(csθ)>0，,tan(sinθ)>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan(csθ)<0，,tan(sinθ)<0.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0若θ在第一象限，则eq \f(θ,2)的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则eq \f(θ,2)的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．
13．已知下列命题：
(1)θ是第二象限角；
(2)sineq \f(θ,2)＋cseq \f(θ,2)＝－eq \f(7,5)；
(3)taneq \f(θ,2)＝eq \f(4,3)；
(4)taneq \f(θ,2)＝eq \f(3,4)；
(5)sineq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2)＝－eq \f(1,5)
试以其中若干(一个或多个)命题为条件，然后以剩余命题中的若干命题为结论，组成新命题，并证明之，至少组出两个新命题．
解：以(1)(2)为条件，以(3)为结论．
证明：因为θ是第二象限角，
所以kπ＋eq \f(π,4)＜eq \f(θ,2)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.①
又sineq \f(θ,2)＋cseq \f(θ,2)＝－eq \f(7,5)，
所以2kπ＋π＜eq \f(θ,2)＜2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z.②
由①②可知2kπ＋eq \f(5,4)π＜eq \f(θ,2)＜2kπ＋eq \f(3,2)π.
又由sineq \f(θ,2)＋cseq \f(θ,2)＝－eq \f(7,5)，得sineq \f(θ,2)·cseq \f(θ,2)＝eq \f(12,25)，
所以eq \f(tan\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq \f(12,25).
所以12tan2eq \f(θ,2)－25taneq \f(θ,2)＋12＝0.
解得taneq \f(θ,2)＝eq \f(3,4)(舍)，taneq \f(θ,2)＝eq \f(4,3).
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