2020-2021学年1.4 三角函数的图象与性质导学案

                       临清三中数学组  编写人：桑立红 

§1.4.3正切函数的图像与性质

【教材分析】

    正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。教材上直接圈定了区间（），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】

正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：

　　1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

　　2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

　　3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】

教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

　　教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x=，是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

【学情分析】

    知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。

　　心理特征：高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】

1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

【课前准备】

1．学生的学习准备：预习“正切函数的图像与性质”，初步把握作图的方法与性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？

大家怎么知道正切函数的值域是R?

     通过单位圆中的正切线可以得到。

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）

　  问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？

利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即[0，2 ]内的图象，再利用周期性得到在定义域内的图象。

问题3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。

　 方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象；

　 第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；

   第三步：根据图象总结性质。

三、合作探究、精讲点拨。

①请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx在一个周期内的简图。

给学生充足的时间与空间，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培养了学生对数学的兴趣。

注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0.）的图象，教师暂时不予评价，等待学生形成图象。

②教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将（0，）的图象与的图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。

通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象，首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？

③投影仪展示完整图像。目的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。

（设计意图：在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。而根据知识的发生发展和获得结论这个过程，在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象）

④总结正切函数的性质。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质（主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及）。一组总结后，其它各小组补充或改正。培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。

判断下列语句是否正确：

(1) y=tanx在定义域上是单调增函数；

（2）y=tanx在第一象限是单调增函数；

（3），而y=tanx 是单调增函数，

在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上，再完成两个比大小的问题。

不求值，判断下列各式的大小

①tan1380       tan1430，            ②tan（— ）       tan（）

引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图象，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。

（设计意图：根据原来的教学经验，学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数，或者对第一象限的认识就认为是0~，所以准备这些辨析题就是让学生缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来）

四、例题分析

例1.讨论函数的性质

解析：考察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移单位得到

解：定义域：值域：R  奇偶性：非奇非偶函数

单调性：在上是增函数

点评：本题考察了图像的平移变换，培养学生的作图能力与通过图像观察性质的能力

变式训练1. 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期

解：要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z

即x≠＋，ｋ∈Z ∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝

（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z

∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）

（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x ∴y＝tan2x的周期为．

例2.求函数y＝的定义域

解析：通过图像解三角不等式

解：tanx≠1且x≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z

则定义域为{x| x∈R且x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}

点评：通过本题培养学生数形结合的能力

变式训练2. y＝

解：tanx＋1≥0，即tanx≥－1，得kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z

则定义域为{x| kπ－≤x＜kπ＋，k∈Z}

例3. 比较tan与tan的大小

解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小

解：tan＝tan   ∵0＜＜＜  又∵y＝tanx在(0，)上单调递增

∴tan＜tan，则tan＜tan

点评：注意诱导公式的准确应用

变式训练3. tan与tan (－)

解：tan ＝－tan ，tan (－)＝－tan ＝－tan

∵0＜＜＜π  又∵y＝tan x在(0，π)上单调递增

∴tan＜tan，则tan＞tan (－)

由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

五、反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

课堂小结：

1、数学知识：正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。

2、数学思想方法：数形结合。

达标检测：

1. 函数的周期是                                       (    )

(A)           (B)             (C)               (D)

2.函数的定义域为                                         (     )

(A)               (B)

(C)    (D)

3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是    (     )

(A)         (B)      (C)        (D)

4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.

5.给出下列命题:

(1)函数y=sin|x|不是周期函数;       (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是π/2;

(3)函数y=tanx在定义域内是增函数;  (4)函数y=sin(5π/2+x)是偶函数;

(5)函数y=tan(2x+π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)

其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)

6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域

参考答案：1.C 2.D  3.C  4. tan2<tan3<tan1  5.(1)(4)(5)  6.

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。

六、发导学案、布置预习。

（1）y=|sinx|的周期变成了2,那y=|tanx|变成了什么？

（2）在书本P34有正切、余切的由来，请同学们仔细阅读，并想想为什么直阴影是余切，反阴影是正切？

七、板书设计

正切函数的图象及性质

一、正切函数图像                                   例1

1．画出正切函数的在一个周期内的图象；               例2

2．将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去；       例3 

二、正切函数的性质    根据图象总结性质                 

八、教学反思

（1）根据知识的前后联系在本节课设计时主要采取类比学习，学生自己动手绘图、自己研究性质、自己完成辨析、判断和例题的过程。在学生能够自己独立完成的地方，教师退到幕后起到一个推波助澜的作用和汇总学生意见，形成正确知识和方法的作用。

（2）根据学生学习知识的发生发展成熟过程，在生成图象的过程中让学生自己先独立画，然后小组交流，再用投影仪来纠正学生错误图象，比较不同周期的图象，最后用投影仪展现定义域内的标准图象，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。

九、学案设计(见下页)

                      临清三中数学组  编写人：桑立红  

§1.4.3正切函数的图像与性质

课前预习学案

一、预习目标

利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质

二、预习内容

1.画出下列各角的正切线：

2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数图象：

3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”

4.观察正切曲线，回答正切函数的性质：

定义域：                   值域：

最值：                     渐近线：

周期性：                   奇偶性

单调性：                   图像特征：

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。

二、学习过程

例1.讨论函数的性质

变式训练1. 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期

例2.求函数y＝的定义域

变式训练2. y＝

例3. 比较tan与tan的大小

变式训练3. tan与tan (－)

三、反思总结

1、数学知识：

2、数学思想方法：

四、当堂检测

一、选择题

1. 函数的周期是                                     (    )

(A)           (B)             (C)               (D)

2.函数的定义域为                                        (     )

(A)               (B)

(C)    (D)

3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是    (     )

(A)         (B)      (C)        (D)

二、填空题

4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.

5.给出下列命题:

（1）函数y=sin|x|不是周期函数;       (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是π/2;

(3)函数y=tanx在定义域内是增函数;  (4)函数y=sin(5π/2+x)是偶函数;

(5)函数y=tan(2x+π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)

其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上)

三、解答题

6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域

课后练习与提高

一、选择题

1、在定义域上的单调性为（    ）.

A．在整个定义域上为增函数   

B．在整个定义域上为减函数

C．在每一个开区间上为增函数

D．在每一个开区间上为增函数

2、下列各式正确的是（    ）.

A．    B．

C．    D．大小关系不确定

3、若,则（     ）.

A．    B．

C．      D．

二、填空题

4、函数的定义域为                 .

5、函数的定义域为                 .

三、解答题

6、 函数的定义域是（     ）.