2020-2021学年1.2 任意的三角函数学案及答案

1.2　任意角的三角函数

1.2.1　任意角的三角函数

问题导学

一、利用定义求角的三角函数值

活动与探究1

已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为，求cos α和tan α的值．

迁移与应用

已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是(　　)

A．1或－1      B．或

C．1或     D．－1或

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，点的坐标含有参数时，应分类讨论．

二、三角函数值的符号问题

活动与探究2

判断下列各式的符号：

(1)sin α·tan α，其中α是第四象限角；

(2)sin 3·cos 4·tan.

迁移与应用

若sin α·cos α＜0，则α的终边在(　　)

A．第一或第二象限      B．第一或第三象限

C．第一或第四象限      D．第二或第四象限

准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．

三、诱导公式一的应用

活动与探究3

求下列各式的值：

(1)sin 1 470°；(2)；(3).

迁移与应用

求下列各式的值：

(1)；

(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°.

利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．

四、三角函数线的简单应用

活动与探究4

求下列函数的定义域：

(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．

迁移与应用

利用三角函数线比较下列各组数的大小．

(1)与；

(2)与.

用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：

(1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线；

(2)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；

(3)注意区间是开区间还是闭区间．

当堂检测

1．有下列命题，其中正确的个数是(　　)

①终边相同的角的同名三角函数值相等；

②同名三角函数值相等的角也相等；

③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；

④不相等的角，同名三角函数值也不相等．

A．0      B．1      C．2      D．3

2．已知sin α＝，cos α＝，则角α所在的象限是(　　)

A．第一象限      B．第二象限

C．第三象限      D．第四象限

3．在[0,2π]上满足sin α≥的α的取值范围是(　　)

A．        B．

C．      D．

4．＝__________.

5．函数y＝sin x＋tan x的定义域为__________．

答案：

课前预习导学

【预习导引】

1．(1)y　x　(2)　　sin α＝　R　　cos α＝　R　　tan α＝　

预习交流1　提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．

预习交流2　提示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

其含义是：第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负．

3．sin α　cos α　tan α　终边相同的角的同一三角函数的值相等

预习交流3　提示：不一定．如sin 30°＝sin 150°＝．

4．正弦线　余弦线　正切线

预习交流4　提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变；

当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，正弦线不变．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：解答本题可先用正弦函数的定义，求出M点的纵坐标，再用点在圆上，求出点的横坐标，得cos α与tan α的值．

解：设点M的坐标为(x1，y1)．

由题意可知，sin α＝－，即y1＝－．

∵点M在圆x2＋y2＝1上，

∴x＋y＝1，即x＋2＝1，

解得x1＝，或x1＝－．

∴cos α＝，tan α＝－1，或cos α＝－，tan α＝1．

迁移与应用　B　解析：r＝＝5|m|，∴sin α＝，

cos α＝，

∴2sin α＋cos α＝＝＝－或，故选B．

活动与探究2　思路分析：先判断角所在的象限，再根据三角函数值的象限符号判断每个式子的符号．

解：(1)∵α是第四象限角，

∴sin α＜0，tan α＜0，

∴sin α·tan α＞0．

(2)∵＜3＜π，π＜4＜，

∴sin 3＞0，cos 4＜0．

∵－＝－6π＋，

∴tan＝tan＞0，

∴sin 3·cos 4·tan＜0．

迁移与应用　D　解析：∵sin α·cos α＜0，

∴sin α与cos α异号，

∴α的终边在第二或第四象限．

活动与探究3　思路分析：利用诱导公式一转化成0～2π(或0°～360°)内的特殊角求解．

解：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝．

(2)cos＝cos＝cos＝．

(3)tan＝tan＝tan＝．

迁移与应用　解：(1)cos＋tan

＝cos＋tan

＝cos＋tan＝＋1＝．

(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)

＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0°

＝4．

活动与探究4　思路分析：先列出不等式约束条件，作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．

解：(1)如图．

∵2cos x－1≥0，

∴cos x≥．

∴x∈

(k∈Z)．

(2)如图．

∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜．

∴－＜sin x＜．

∴x∈∪

(k∈Z)，即x∈(k∈Z)．

迁移与应用　解：如图画出角与的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M1P1|＞|M2P2|，|AT1|＞|AT2|，结合有向线段的方向，得M1P1＞M2P2，AT1＜AT2．

又∵=M1P1，=M2P2，=AT1，=AT2，

∴(1)＞，(2)＜．

【当堂检测】

1．B　解析：对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．

2．B　解析：由sin α＝＞0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－＜0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．

3．B　解析：如图．

∵sin α≥，

∴在[0,2π]上，α的取值范围是．

4．　解析：原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋0＝．

5．　解析：要使函数有意义，必须使sin x与tan x有意义，

∴

∴函数的定义域为．