人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式导学案

一、教学内容分析

本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。

二、学生学习情况分析

授课的班级学生程度较高，基础较好，学习的知识结构较为合理。因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。

三、教学目标

1.知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题

2.过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误

3.情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性

四、教学重点与难点

教学重点：正确运用基本不等式

教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

五、教学过程

(一)新课引入

前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

 (二)例题讲解

例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（）m

由                          ，

可得                        

2（）

等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m

 (2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形菜园的面积为，

由             可得    ,

可得等号当且仅当            

因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81

例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。

解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元，根据题意，有

由容积为4800可得

因此         

由基本不等式与不等式性质，可得

即             

可得等号当且仅当

所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元

归纳:用均值不等式解决实际问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

例3.

归纳: (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，

且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立.

(2).两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，

则a＋b≥2，等号当且仅当a＝b时成立.

(四)课堂练习

教材P100面练习3题、4题。

（五）课堂小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。

在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：

(1)函数的解析式中，各项均为正数；

(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

 (六)：课后作业：《习案》