数学必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性学案

高考中“简单的线性规划问题”

　　简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，有很强的实用性．近年来，简单的线性规划问题频频出现在高考试题中，成为高考新的命题趋势．下面撷取几例高考题并分类解析，旨在探索题型规律．

一、  求线性目标函数在线性约束条件下的最值

例1　（2005年高考福建卷）非负实数满足则的最大值

为　　　　．

解析：在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域，如图1．

令，则，当直线过点时，的值最大，

．故的最大值为9．

点评：求线性目标函数在线性约束条件下的最值是一类最基本题型，也是高考命题的重

点．这类问题可以借助图形直观地得到答案．

二、  求非线性目标函数在线性约束条件下的最值

例2　（2005年高考江西卷）设实数满足，则的最大值是　　．

解析：不等式组确定的平面区域如图2阴影部分．

设，则，求的最大值，即求的斜率的最大值．

显然过点时，最大．

由解得．

代入，得．

的最大值为．

点评：本题是将非线性规划问题，转化为线性规划问题求解，体现了数形结合和化归思

想的运用．这种题型在今后高考中可能会成为主要命题方向，望引起同学们的关注．

三、  求线性目标函数的最优解

例3　（2005年高考山东卷）设满足约束条件则使得目标函数的值最大的点是         　．

解析：在平面直角坐标系中，作出可行域如图3所示．将变为，当直线过点时，的值最大．

解得．

点评：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解是简单的线性规划的重要应用．

四、  已知线性目标函数的最优解，求参数的值（范围）

例4　（2001年高考新课程卷）给出平面区域如图4所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

解析：根据线性规划问题的解题步骤，最优解应在可行域的端点处取得，但由题设知取

得最大值的最优解有无穷多个，所以直线应与直线平行．

．故选（Ｂ）．

点评：本题主要考查最优解的找法，以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两

点：①线性规划问题可能没有最优解；②当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．

五、  求平面区域的面积

　　例5　（2005高考全国卷Ⅰ）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（　　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

　　解析：在平面直角坐标系中，作出不等式组所表示的平面区域，

如图5中的阴影部分，

可求得．

　　．

故选（Ｂ）．

点评：作出平面区域，并分析其构成是准确求出阴影部分面积的关键．

六、  线性规划在实际问题中的应用

　　例6　（2004年高考江苏卷）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．

　　某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损为和，投资人计划投资不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才可能使盈利最大？

解析：设投资人分别将万元、万元投资于甲、乙两个项目，

由题意知目标函数．

上述不等式组表示的平面区域如图６所示，阴影部分（含边界）即为可行域．

将变为，则当直线过点时，在轴上的截距最大，即取得最大值．

解得，此时．

当时，取得最大值．

答：投资人用4万元资金投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．

　　点评：这是在高考中第一次以解答题的形式考查简单的线性规划问题．本题是一道应用题，以投资决策为背景，以线性规划为素材，考查学生对数学的应用意识和能力，不落谷套，令人耳目一新．