高中人教版新课标A3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性第1课时学案

第1课时　简单的线性规划问题

1．了解线性规划中的基本概念．

2．会用图解法解决线性规划问题．

1．线性规划中的基本概念

【做一做1－1】 线性规划中的可行域中的点(x，y)是(　　)

A．最优解       B．可行解

C．线性目标函数      D．可能不满足线性约束条件

【做一做1－2】 目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是(　　)

A．该直线在坐标轴上的距离   B．该直线在y轴上的截距

C．该直线在y轴上的截距的相反数  D．该直线在x轴上的截距

答案：1．二元一次　一次函数　解　集合　可行解　

【做一做1－1】 B

【做一做1－2】 C

1．理解线性规划的有关概念

剖析：(1)线性约束条件就是指变量x，y满足的二元一次不等式组．

(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定，一次解析式z＝Ax＋By＋C，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．

当B≠0时，由z＝Ax＋By＋C，得y＝－x＋.这样，二元一次函数就可视为斜率为－，在y轴上截距为，且随之变化的一组平行线．于是把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上截距的最大值或最小值问题．

当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大．

当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．

(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解构成的一个区域．即可行域是约束条件对应的二元一次不等式组表示的平面区域(或其内部的一些点)．可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．

2．确定线性规划中的最优解

剖析：根据解题经验，确定最优解的思维过程是：

线性目标函数z＝Ax＋By＋C(A，B不全为0)中，当B≠0时，y＝－x＋，这样线性目标函数可看成斜率为－，在y轴上的截距为，且随z变化的一组平行线，则把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．因此只需先作出直线y＝－x，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解．应特别注意，当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．通常情况下，可以利用可行域边界直线的斜率来判断．

对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解．最优解一般在可行域的顶点处取得．若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出的最优整解．上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点→验证→选最优整解．

题型一  求线性目标函数的最值

【例题1】 (2011·北京海淀二模)点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，则z＝x＋y的最大值为__________．

反思：解决线性规划问题的方法是图解法，即借助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一组平行线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解．

其步骤是：

(1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来；

(2)运用数形结合的思想，把线性目标函数看成是直线系，将目标函数表示的直线平行移动，最先通过的顶点或最后通过的顶点便是所需要的点，由此可以确定目标函数的最优解．特别地，当线性目标函数表示的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个；

(3)若要求的最优解是整数解，而得到的解为非整数解时，应作适当调整，其方法是应以到线性目标函数表示的直线的距离为依据，在直线附近的可行域里寻求与此直线距离最近的整点，如果可行域中整点很少，也可逐个验证．

题型二  易错辨析

【例题2】 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．

错解：依题意

①＋②，得0≤2x≤8，即0≤x≤4.③

①＋②×(－1)，得－2≤2y≤6，

即－1≤y≤3.④

∴－9≤2x－3y≤11.

错因分析：错解中由①②得到不等式③④是利用了不等式中的加法法则，而此法则不具有可逆性，从而使x，y的范围扩大，这样2x－3y的范围也就随之扩大了．

反思：1.本题中的两个变量x，y之间并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约的关系．x取得最大(或最小)值时，y并不能同时取得最大(或最小)值；y取得最大(或最小)值时，x也并不能同时取得最大(或最小)值．如果忽视了x，y之间的相互制约关系，将导致所求的取值范围出错．

2．已知几个二元一次式的范围，求另外一个二元一次式的范围问题，通常有两种解法，即用线性规划或把所求用已知线性表示后再利用不等式的性质求解．

答案：【例题1】 6　画出可行域，如图中的阴影部分所示．

由z＝x＋y，得y＝－x＋z，

则z是直线y＝－x＋z在y轴上的截距．

由可行域知，当直线y＝－x＋z经过点A(2,4)时，z取最大值，此时x＝2，y＝4，则z的最大值为z＝x＋y＝2＋4＝6.

【例题2】 正解：解法一：作出二元一次方程组所表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)即可行域．考虑z=2x－3y，把它变形为y=，得到斜率为，且随z变化的一组平行直线．是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x－3y取得最小值；当直线截距最小时，z的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=2x－3y取得最大值．

由图可见，当直线z=2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．

解方程组得A的坐标为(2,3)，

∴zmin=2x－3y=2×2－3×3=－5.

当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大．解方程组得B的坐标为(2，－1)，

∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.

∴－5≤2x－3y≤7.

∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．

解法二：设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，

则2x－3y＝(a＋b)x＋(a－b)y，

∴∴

即2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．

又1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，

∴－≤－(x＋y)≤－，

－≤(x－y)≤.

∴－5≤－(x＋y)＋(x－y)≤7，

即－5≤2x－3y≤7.

∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．

1设实数x和y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为(　　)

A．26      B．24      C．16      D．14

2若则z＝x＋2y的最大值是__________．

3 (2011·北京昌平二模)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则此三角形的面积是__________；若x，y满足上述约束条件，则z＝x－y的最大值是__________．

4若实数x，y满足求z＝3x＋2y的最小值．

5已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围．

答案：1．D　2.3　3.1　2

4. 解：不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．

令t=x+2y，则当直线y=经过原点O(0,0)时，取最小值，即t有最小值为0，则z=3x+2y有最小值为30=1.

5．解：令a＝x，b＝y，z＝9a－b，即已知－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求z＝9x－y的取值范围，画出不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示．

由z＝9x－y，得y＝9x－z，当直线过A点时z取最大值，当直线过点B时z取最小值．

由得A(3,7)．

由得B(0,1)．

即zmax＝9×3－7＝20，zmin＝－1.

所以9a－b的取值范围是[－1,20]．