高中数学1.4 三角函数的图象与性质教案

4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？

2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：

  正弦函数性质如下：

（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）

3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当增加（）时，总有．

也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；

         （2）对于定义域内的任意，恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、讲解新课：  

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？

（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）

（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ 

（是，其原因为：）

2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

     2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

     3T往往是多值的（如y=sinx   2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2  （一般称为周期）

从图象上可以看出，；，的最小正周期为；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？  （没有最小正周期）

3、例题讲解 

 例1 求下列三角函数的周期： ①   ②（3），．

解：（1）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

 所以，函数，的周期是．

（2）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

（3）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；

（2）若，例如：①，；②，；

③，．

则这三个函数的周期又是什么？

一般结论：函数及函数，的周期

例2先化简，再求函数的周期
①
②
③证明函数的一个周期为，并求函数的值域；

例3 求下列三角函数的周期：

1 y=sin(x+)  2 y=cos2x  3 y=3sin(+)

解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz   即：f (2+z)=f (z)

f [(x+2)+ ]=f (x+)    ∴周期T=2

2令z=2x  ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]

即：f (x+)=f (x)    ∴T=

      3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)

=3sin()=f (x+4)         ∴T=4                  

小结：形如y=Asin(ωx+φ)  (A,ω,φ为常数,A0, xR)  周期T=

y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

例4 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-)

  2 y=|sinx|       3 y=2sinxcosx+2cos2x-1

解：1 y1=sin(2x+)  最小正周期T1=

      y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=

∴T为T1 ,T2的最小公倍数2  ∴T=2

          2   T=  作图

注意小结这两种类型的解题规律

          3 y=sin2x+cos2x       ∴T=

三、巩固与练习

1．  y=2cos()-3sin()

2．  y=-cos(3x+)+sin(4x-)

3．  y=|sin(2x+)|

4．  y=cossin+1-2sin2

四、小    结：本节课学习了以下内容：

周期函数的定义，周期，最小正周期

五、课后作业：P56 练习5、6      P58习题4．8    3

补充：

1．求下列函数的周期：

1y=sin(2x+)+2cos(3x-)    2 y=|sinx|   3 y=2sinxcosx+2cos2x-1

2．  求下列函数的最值：   1 y=sin(3x+)-1    2 y=sin2x-4sinx+5   3 y=

3．函数y=ksinx+b的最大值为2,  最小值为-4，求k,b的值。

六、板书设计：

七、课后反思：

   题选

求下列函数的周期：

（1）；      （2）；

（3）；       （4）；    （5）．

解：（1），∴周期为；

（2），∴周期为；

（3）  ∴周期为；

（4），∴周期为；

（5），∴周期为．

说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。