高中数学人教版新课标A必修41.2 任意的三角函数教案

1. 1.1任意角

一、教材分析

“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。

二、教学目标

1.理解任意角的概念；

2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

三、教学重点难点

1．判断已知角所在象限；

2．终边相同的角的书写。

四、学情分析

五、教学方法

1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

七、课时安排：1课时

八、教学过程

（一）复习引入：

1．初中所学角的概念。

2．实际生活中出现一系列关于角的问题。

（二）新课讲解：

1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成

一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。

说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．

2．角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则

（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：都是第一象限角；是第四象限角。

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。

说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为

轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角

自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。   从而得出一般规律：

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，

即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

5．例题分析：

例1   在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？

     （1）      （2）      （3）

解：（1），

所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；

（2），

所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；

（3），

所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。

例2  若，试判断角所在象限。

解：∵   

   ∴与终边相同，  所以，在第三象限。

例3             写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素

写出来：  （1）；        （2）；         （3）．

解：（1），

中适合的元素是

（2），

S中适合的元素是

（3）

S中适合的元素是

（三）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

（四）发导学案、布置预习。

九、板书设计

十、教学反思

以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：

（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？

（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？

（3）教学任务是否完成？

下面我们着重分析一下提问的效果。

在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？”

对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角α，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。

对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。

    在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!

十一、学案设计(见下页) 

1.1.1任意角

 课前预习学案

一、预习目标

1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3、能用集合和数学符号表示象限角；

4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

二、预习内容 

1．回忆：初中是任何定义角的？

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。                                            

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？

2.角的概念的推广：

3．正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题：  

1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；  （2）-750；  （3）8550；  （4）-5100.

5.终边相同的角的表示

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（2）理解任意角以及象限角的概念；

（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；

学习重难点：

重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程

例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）

例2.写出终边在轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式

的元素写出来.

（三）【回顾小结】

1.尝试练习

（1）教材第3、4、5题.

   （2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为     ，分针转过的角度为      。

注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

2.学习小结

(1)      你知道角是如何推广的吗?

(2)      象限角是如何定义的呢?

(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?

 (四)当堂检测

1．设， ，那么有（  ）．

　　A．　　　B．　　C．（ ）　　D．

2．用集合表示：

　　（1）各象限的角组成的集合．　　（2）终边落在 轴右侧的角的集合．

3．在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1） ；（2） ；（3） ．

3.解：（1）∵

　　　　∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；

　　（2）∵

　　　　∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；

　　（3）

　　所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．

课后练习与提高

1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

2. 下列命题正确的是：     （  ）

       （A）终边相同的角一定相等。          （B）第一象限的角都是锐角。

       （C）锐角都是第一象限的角。          （D）小于的角都是锐角。

3. 若a是第一象限的角，则是第       象限角。

4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_      _．

5.集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（   ）

　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，

　　C． 轴或 轴上，　　　　　D． 轴正半轴或 轴正半轴上

6.设 ，　　　　　

　　　　C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ，　　　　　

则相等的角集合为_       _．

参考答案

1. 解：2小时40分=小时，

           故分针走过的角为480。

    2. C    3. 一或三    4.  5. C  6. _B＝D，C＝E