《合情推理》文字素材1（新人教B版选修1-2）

第二章    推理与证明2．1   合情推理与演绎推理2．1．1    合情推理典型例题例1  观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100项是(   )（A） 10   （B） 13   （C） 14    （D） 100解析   由规律可得:数字相同的数依次个数为1,2,3,4,… n  由≤100  n ∈  得,n=14,所以应选（C）例2   对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:                             。解析  由类比推理 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补例3、观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。解析  猜想：。    证明练习一、选择题1、 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是      (      )(A) 42,41,123;     (B) 13,39,123;    (C)24,23,123;       (D)28,27,123. 2、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （    ）(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2  (B)(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2 3、已知 ，猜想的表达式为  (      )A.     B.     C.   D. 二、填空题4、依次有下列等式：，按此规律下去，第8个等式为                                                。5、在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式                   成立.    三、解答题6在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.  7、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？  
参 考 答 案2．1   合情推理与演绎推理 2．1．1   合情推理一、选择题（1）（A） 观察各项我们可以发现：x为前一项的3倍即14×3，y为前一项减1，z为前一项的3倍，故应选42，41，123，选（A）。（2）分析  关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：            多面体         多边形；          面           边体 积          面 积 ；        二面角        平面角面 积          线段长；          … …由此，可类比猜测本题的答案：，故选（C）。（3）由归纳猜想可得选（B）。  二、填空题（4）由归纳猜想可得8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=（5）猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则.  所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立三、解答题6．分析  根据类比猜想得出.其中为侧面为与所成的二面角的平面角.证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即  7．解：（1）（2），当时，.（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.   …… 12分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由，依次类推可得  当时，的取值范围为等.