数学必修42.1 平面向量的实际背景及基本概念教案设计

2.1平面向量的实际背景及基本概念

教学目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已

知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

教学重点：向量的有关概念及意义，相等向量及共线向量的理解。

教学难点：相等向量与共线向量的理解。

教学过程

一、新课引入

　　在物理上，重力的方向向哪里？浮力的方向呢？被压缩或拉长的弹簧的弹力方向

二、新课

1、向量的物理背景与概念

力既有大小，又有方向，重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就

越大；物体在液体中受到的浮力是坚直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到

到的浮力就越大；被拉长或压缩的弹簧也有方向和大小。

　　在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。只有大小、没有方向

的量（年龄、身高、长度、面积、体积、质量等），称为数量。

　　向量常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例画出，

它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

　　带有方向的线段叫有向线段。

有向线段的表示：起点写在终点的前面，如图，表示为：

长度：线段AB的长度也叫有向线段的长度，记作||。

有向线段的三要素：起点、方向、长度。

　　向量的大小，也就是向量的长度（也叫模），记作||。长度为0的向量

叫零向量，记作0，长度等于1个单位的向量叫单位向量。

　　向量也可以用字母a，b，c……来表示。

　　例1、试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地到B、

C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）。

解：表示A地到B地的位移，且||≈＿＿＿＿

　　表示A地到C地的位移，且||≈＿＿＿＿

　　方向相同或相反的非零向量叫平行向量，向量a、b平行，记作a∥b

　　零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a

3、相等向量与共线向量

　　长度相等且方向相同的向量叫相等向量，记作：a＝b。任意两个相等的非零向量

都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。在平面上，两个长度相

等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。

　　任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量。

例2：（P85）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（）

练习：P86

作业：P86　1、2、3、4